Hai quả bóng bay được thả lên cùng một địa điểm. Sau một khoảng thời gian, quả bóng thứ nhất nằm cách địa điểm xuất phát 200m về hướng Đông và 200m về hướng Nam, đồng thời cách mặt đất 50m; quả bóng thứ hai nằm cách địa điểm xuất phát 100m về hướng Tây và 100m về hướng Bắc, đồng thời cách mặt đất 40m. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất quan sát thấy hai quả bóng này. Biết rằng so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến hai quả bóng bay là nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm thả hai quả bóng bay này (đơn vị: mét) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cận kề ngày Tết cổ truyền, anh Nghĩa dự định trang trí hệ thống đèn LED cho khoảng sân nhà hình chữ nhật $MNPQ$ có chiều dài $MQ=12m,MN=8m$. Để cung cấp điện cho hệ thống đèn LED, anh Nghĩa đi dây điện theo trình tự: $A\to B\to C\to O\to D\to E\to F\to H$ (như hình vẽ bên). Trong đó:
- Điểm $A$ nằm trên cột cổng cao $3m$, vị trí chân cột cách cây Neem $3m$ và chân cột nằm trên đoạn $MQ$.
- Đoạn $BC$ nằm trên bức tường hình chữ nhật $PQIJ$ có $PJ=4m$ (bức tường vuông góc với mặt đất), độ dài $BC=3m$ và $BC\parallel IJ$
- Điểm $O$ nằm trên mái che hình chữ nhật $IJUV$ có $JU=10m$ (mái che song song với mặt đất).



❖ Cột đèn đặt tại góc $N$ và điểm $D$ nằm trên cột đèn cao $3m$.
❖ Điểm $E,F$ nằm trên thân cây Nêu sao cho $EF=2m$. Cây Nêu $MG$ vuông góc với đất tại $M$, chiều cao $MG=10m$.
❖ Điểm $H$ cách đỉnh $G$ một khoảng $HG=0.5m$ ($HG$ song song với mặt đất).
Tính tổng độ dài dây điện ngắn nhất mà anh Nghĩa cần sử dụng để hoàn thành hệ thống đèn trang trí này. (Đơn vị: mét.làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Một tấm pin năng lượng mặt trời hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $AB=2m$ và $BC=3m$. Tấm pin được đặt nghiêng sao cho cạnh $AB$ nằm sát trên mặt đất phẳng. Một bóng đèn (xem như một điểm) được đặt tại vị trí $S$ cao $4m$ có hình chiếu vuông góc lên mặt đất trùng với trung điểm $I$ của cạnh $AB$. Vào buổi tối khi bật đèn lên bóng của tấm pin trên mặt đất tạo thành một hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (với $C^{\prime },D^{\prime }$ lần lượt là bóng của $C,D$). Biết rằng hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có chiều cao bằng $4,5m$. Hãy tính diện tích lớn nhất của hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là bóng của tấm pin trên mặt đất? (Đơn vị: $m^2$, làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Một tấm pin năng lượng mặt trời hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $AB=2m$ và $BC=3m$. Tấm pin được đặt nghiêng sao cho cạnh $AB$ nằm sát trên mặt đất phẳng. Một bóng đèn (xem như một điểm) được đặt tại vị trí $S$ cao $4m$ có hình chiếu vuông góc lên mặt đất trùng với trung điểm $I$ của cạnh $AB$. Vào buổi tối khi bật đèn lên bóng của tấm pin trên mặt đất tạo thành một hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (với $C^{\prime },D^{\prime }$ lần lượt là bóng của $C,D$). Biết rằng hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có chiều cao bằng $4,5m$. Hãy tính diện tích nhỏ nhất của hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là bóng của tấm pin trên mặt đất? (Đơn vị: $m^2$, làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Trong một khu đô thị, người ta quy ước một hệ trục tọa độ không gian $Oxyz$ (đơn vị độ dài tính bằng mét). Hai điểm $A(20;15;20),B(60;20;15)$ biểu diễn vị trí tương đối của hai cột kỹ thuật chiếu sáng. Một tuyến cáp kỹ thuật ngầm được bố trí thẳng theo trục $Ox$. Người ta chọn một điểm $M$ trên tuyến cáp này để đặt hộp điều khiển trung tâm. Hệ thống cần sử dụng các đoạn cáp thẳng nối từ $M$ đến $A$, từ $M$ đến $B$ và một đoạn cáp cố định nối trực tiếp giữa hai cột $A$ và $B$. Xác định tọa độ điểm $M$ sao cho tổng chiều dài cáp cần sử dụng là nhỏ nhất, và tính tổng chiều dài cáp đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong một khu đô thị, người ta quy ước một hệ trục tọa độ không gian $Oxyz$ (đơn vị độ dài tính bằng mét). Hai điểm $A(10;24;18),B(50;18;24)$ biểu diễn vị trí tương đối của hai cột kỹ thuật chiếu sáng. Một tuyến cáp kỹ thuật ngầm được bố trí thẳng theo trục $Ox$. Người ta chọn một điểm $M$ trên tuyến cáp này để đặt hộp điều khiển trung tâm. Hệ thống cần sử dụng các đoạn cáp thẳng nối từ $M$ đến $A$, từ $M$ đến $B$ và một đoạn cáp cố định nối trực tiếp giữa hai cột $A$ và $B$. Xác định tọa độ điểm $M$ sao cho tổng chiều dài cáp cần sử dụng là nhỏ nhất, và tính tổng chiều dài cáp đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, với đơn vị dài trên mỗi trục là $1dm$. Một con ong mật xuất phát tại vị trí điểm $A(3;2;1)$ bay xuống mặt phẳng $(Oxy)$ nó nghỉ tại chỗ một lát rồi sau đó bay đến mặt phẳng $(P):y-z=0$. Tại mặt phẳng $(P)$ con ong mật cẩn thận bò đi một đoạn đường thẳng có độ dài bằng $2dm$, sau đó nó bay trở về vị trí xuất phát. Tính độ dài ngắn nhất của quãng đường mà con ong mật đã thực hiện (kết quả tính theo đơn vị $dm$ và làm tròn đến hàng phần trăm).