Một mô hình trang trí có dạng là hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh bằng 10 m. Người ta cần nối một đường dây điện đi từ điểm $E$ (là trung điểm của $CD$) đi qua điểm $M$ thuộc cạnh $AD$, đi tiếp qua điểm $N$ thuộc cạnh $A{A}^{\prime }$ rồi tới điểm $B^{\prime }$ (như hình vẽ). Biết độ dài đoạn dây điện bằng 25 m. Tính độ dài đoạn $MN$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(10;0;0)$, $D(0;10;0)$, $A^{\prime }(0;0;10)$, $B^{\prime }(10;0;10)$, $E$ trung điểm $CD$ nên $E(5;10;0)$. Đoạn dây đi qua ba mặt: $EM$ nằm trên mặt đáy, $MN$ nằm trên mặt $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ (vì $M\in AD$, $N\in A{A}^{\prime }$ nên $MN$ nằm trong mặt phẳng $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$), $N{B}^{\prime }$ nằm trên mặt $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$.

Giải phẳng ba mặt này: giữ mặt $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ với $A(0;0)$, $B(10;0)$, $A^{\prime }(0;10)$, $B^{\prime }(10;10)$; trải mặt $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ sang trái qua cạnh $A{A}^{\prime }$: $D(-10;0)$, $D^{\prime }(-10;10)$; trải mặt đáy xuống dưới qua cạnh $AD$: vì $E$ cách $D$ một đoạn $5$ theo $DC$ nên $E_1(-10;-5)$.

Đường dây ngắn nhất là đoạn thẳng $E_1{B}^{\prime }$: $E_1{B}^{\prime }=\sqrt{(10+10{)}^2+(10+5{)}^2}=\sqrt{625}=25$ m — đúng bằng độ dài dây đã cho, nên $M$, $N$ chính là giao điểm của đoạn thẳng này với $AD$ ($y=0$, $x\in [-10;0]$) và $A{A}^{\prime }$ ($x=0$).

Phương trình đoạn thẳng: $x=-10+20t$, $y=-5+15t$.
- Giao với $AD$ ($y=0$): $t=\frac{1}{3}\Rightarrow x=-\frac{10}{3}$, tức $AM=\frac{10}{3}$.
- Giao với $A{A}^{\prime }$ ($x=0$): $t=\frac{1}{2}\Rightarrow y=2,5$, tức $AN=2,5$.

Suy ra $MN=\sqrt{A{M}^2+A{N}^2}=\sqrt{\frac{100}{9}+\frac{25}{4}}=\sqrt{\frac{625}{36}}=\frac{25}{6}\approx 4,17$ m.