Kim tự tháp ở Ai Cập có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là 262 m và cạnh bên là 230 m. Giả sử, từ một mặt bên của kim tự tháp ta cần đào một con đường ngắn nhất để đi đến tâm của đáy kim tự tháp, khi đó quãng đường ngắn nhất có độ dài khoảng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Lời giải (đáp án chính thức):

Giả sử các cạnh và các đỉnh của kim tự tháp được mô phỏng như hình vẽ bên dưới



Gọi $H$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $S.ABCD$ là chóp tứ giác đều nên ta có $SA=SB=SC=SD$.

Từ đó suy ra $$\{\begin{array}{l}SH\perp BD\\ SH\perp AC\end{array}\Rightarrow SH\perp (ABCD).$$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=262\sqrt{2}$ m.

$\Rightarrow HC=\frac{AC}{2}=131\sqrt{2}$ m.

Xét tam giác $SHC$ vuông tại $H$, ta có: $SH=\sqrt{S{C}^2-H{C}^2}=\sqrt{(230{)}^2-{\left(131\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{18578}$.

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, ta có $SI\perp BC$ vì tam giác $SBC$ cân tại $S$ và ta có $HI=\frac{AB}{2}=131$ m.

Kẻ $HJ\perp SI$, khi đó $HJ\perp (SBC)$ vì $$\{\begin{array}{l}HJ\perp SI\\ HJ\perp BC\end{array},$$

suy ra $HJ$ là khoảng cách ngắn nhất để đào con đường vào tâm của đáy kim tự tháp.

Xét tam giác $SHI$ vuông tại $H$, ta có:
$$\frac{1}{H{J}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{I}^2}=\frac{1}{18578}+\frac{1}{17161}=\frac{35739}{18578.17161}\Rightarrow HJ\approx 94$$ m.

Vậy quãng đường ngắn nhất khoảng 94 m.

(Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tương ứng)