Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-2t\\ z=0\end{array}$. Biết rằng đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $A$ và $B$. Độ dài của đoạn thẳng $AB$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8)$, chuyển động theo theo đường thẳng $d$ có véc tơ chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi $C(a;b;c)$ là tọa độ vị trí cuối cùng mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa. Tính $a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mỗi trục tọa độ là km). Một trạm phát sóng được đặt tại vị trí $A(0,1,3)$ và có vùng phủ sóng là hình cầu bán kính 5 km. Một con đường thẳng được mô hình hóa bởi đường thẳng: $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}$.

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên các trục là kilomet), một trạm radar được đặt tại điểm $I(2;1;5)$ và có vùng hoạt động được giới hạn bởi một mặt cầu tâm $I$, bán kính $R$. Một chiếc máy bay xuất phát từ điểm $A(-4;-5;3)$, chuyển động thẳng đều với vận tốc không đổi $900km/h$ và theo hướng vectơ $\vec{u}(2;2;1)$. Biết rằng khoảng thời gian máy bay di chuyển trong vùng phủ sóng của radar là 24 giây. Tính bán kính $R$ của vùng phủ sóng đó (đơn vị kilomet, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(-2;3;0)$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-4}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-3}{2}$. Biết đường thẳng $\Delta$ cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho đoạn $AB=8$. Tính bán kính mặt cầu $(S)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;3;2)$ và có một tiếp tuyến là đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-1}$ có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$. Tính $T=a+b+c-d$.

Cho điểm $I(0;0;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1}$. Tìm bán kính mặt cầu $(C)$ có tâm $I$ và cắt đường thẳng $d$ tại hai điểm $A$, $B$ sao cho $AB=6$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).