Ông Hoàng có một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là $60m$ và $30m$. Ông chia thành hai nửa bằng một đường tròn tiếp xúc trong với elip để làm mục đích sử dụng khác nhau. Nửa bên trong đường tròn ông trồng cây lâu năm, nửa bên ngoài đường tròn ông trồng hoa màu. Tính tỉ số diện tích T giữa phần trồng cây lâu năm so với diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích elip được tính theo công thức $S=\pi ab$ trong đó $a,b$ lần lượt là độ dài nửa trục lớn và nửa trục bé của elip. Biết độ rộng của đường elip không đáng kể.

Bên trong một công viên, người ta muốn thiết kế một vườn hoa hình Elip có độ dài trục lớn bằng $12\text{ m}$ và tiêu cự bằng $8\text{ m}$. Người ta rào thành một hình chữ nhật nội tiếp Elip như hình vẽ để trồng hoa, phần còn lại để trồng cỏ. Diện tích trồng hoa lớn nhất (theo đơn vị ${\text{m}}^2$) là bao nhiêu?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (quy ước đơn vị đo trên các trục là kilômét) một vệ tinh viễn thông $M$ di chuyển trên quỹ đạo là một đường Elip nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Quỹ đạo này nhận hai trạm phát tín hiệu tại mặt đất làm tiêu điểm là $A(3;0;0)$ và $B(-3;0;0)$. Trong suốt quá trình vận hành, vệ tinh luôn duy trì tổng khoảng cách từ nó đến hai trạm phát $A$ và $B$ cố định bằng $10\text{ km}$. Một máy thu dữ liệu được đặt tại đỉnh của một tháp điều khiển có tọa độ $C(0;0;4)$. Tính khoảng cách ngắn nhất từ máy thu $C$ đến vệ tinh $M$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một đơn vị dài trên các trục tương ứng với $10$ mét trên thực tế. Trên một khu đất bằng phẳng (mặt phẳng $(Oxy)$), có hai trạm phát tín hiệu định vị đặt cố định tại $A(3;0;0)$ và $B(-3;0;0)$. Một thiết bị dò tìm $M$ di chuyển trên mặt đất, có bộ thu tín hiệu từ cả hai trạm; theo đó thiết bị chỉ hoạt động ổn định tại các vị trí sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai trạm $A,B$ luôn bằng $10$ đơn vị (tương ứng $100$ mét trên thực tế). Tại vị trí $C(0;5;4)$ có đặt một trạm chỉ huy. Khoảng cách ngắn nhất từ thiết bị $M$ đến trạm chỉ huy $C$ bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần mười).

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $C(0;6;1)$ và đường thẳng $\Delta$ song song với trục $Oz$. Một điểm $M$ di động trên $\Delta$ sao cho $0\le z_M\le 10$. Biết rằng tổng khoảng cách từ hai điểm $A(3;0;0)$ và $B(-3;0;0)$ đến $\Delta$ bằng $2\sqrt{34}$. Khi khoảng cách $MC$ ngắn nhất, điểm $M$ trùng với $M_0(x_0;y_0;z_0)$. Tính $S=x_0+20y_0+11z_0$.

Trong mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$, cho elip $(E)$ có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$. Tiêu cự của elip $(E)$ bằng

Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh $20\text{ cm}$ bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng một nửa elip như hình bên. Biết một nửa trục lớn $AB=6\text{ cm}$, trục bé $CD=8\text{ cm}$. Diện tích bề mặt hoa văn đó bằng