Một nhà máy có hai phân xưởng $X$ và $Y$ cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng $X$ sản xuất 60\% và phân xưởng $Y$ sản xuất 40\% tổng số sản phẩm của cả nhà máy. Tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng $X$, phân xưởng $Y$ lần lượt là 10\% và 5\%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho hàng của nhà máy. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Xác suất lấy được sản phẩm tốt, biết sản phẩm đó do phân xưởng $X$ sản xuất bằng 90\%.

b) Xác suất lấy được phế phẩm là 10\%.

c) Giả sử đã lấy được phế phẩm, xác suất phế phẩm đó do phân xưởng $Y$ sản xuất bằng 75\%.

d) Nếu lấy được sản phẩm tốt, khả năng sản phẩm đó do phân xưởng $X$ sản xuất cao hơn khả năng sản phẩm đó do phân xưởng $Y$ sản xuất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi X, Y là biến cố sản phẩm do phân xưởng X, Y sản xuất; F là biến cố lấy được phế phẩm. Ta có P(X)=0,6; P(Y)=0,4; P(F|X)=0,1; P(F|Y)=0,05.
a) Xác suất lấy được sản phẩm tốt biết do X sản xuất: P(F̄|X)=1−0,1=0,9=90% → đúng.
b) Theo công thức xác suất toàn phần: P(F)=0,6·0,1+0,4·0,05=0,06+0,02=0,08=8% ≠ 10% → sai.
c) Theo công thức Bayes: P(Y|F)=P(Y)P(F|Y)/P(F)=0,02/0,08=0,25=25% ≠ 75% → sai.
d) P(X|F̄)=0,6·0,9/0,92=0,54/0,92≈0,587; P(Y|F̄)=0,4·0,95/0,92=0,38/0,92≈0,413. Vì 0,587>0,413 nên khả năng sản phẩm tốt do X sản xuất cao hơn do Y sản xuất → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(sản phẩm tốt | X)=1−P(phế phẩm | X)=1−0,1=0,9=90%.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(phế phẩm)=0,6·0,1+0,4·0,05=0,08=8%, không phải 10%.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(Y | phế phẩm)=0,4·0,05/0,08=0,25=25%, không phải 75%.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(X | tốt)=0,54/0,92≈0,587 > P(Y | tốt)=0,38/0,92≈0,413.