Một khối gỗ có dạng hình chóp cụt đều, hai đáy là hình vuông có cạnh lần lượt là $5\text{ cm}$ và $3\text{ cm}$, chiều cao của khối là $2,5\text{ cm}$ (xem hình). Người ta dùng một mặt phẳng song song với hai đáy để cắt bỏ phần trên của khối, sao cho thể tích phần còn lại đúng bằng một nửa thể tích khối ban đầu. Gọi $h\text{ (cm)}$ là chiều cao phần bị cắt đi. Hãy tính giá trị của $h$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Mở rộng các cạnh bên của hình chóp cụt để tạo thành hình chóp đều đỉnh $S$. Gọi $h_1$ là chiều cao của hình chóp nhỏ (có đáy là hình vuông cạnh $3\text{ cm}$). Gọi $h_2$ là chiều cao của hình chóp lớn (có đáy là hình vuông cạnh $5\text{ cm}$).
Theo định lý Ta-lét, tỉ số chiều cao bằng tỉ số cạnh đáy tương ứng: $\frac{h_1}{h_2}=\frac{3}{5}\Rightarrow 5h_1=3h_2$.
Mặt khác, chiều cao của khối chóp cụt là $2,5\text{ cm}$ nên $h_2-h_1=2,5$.
Giải hệ phương trình trên ta được: $h_1=3,75\text{ cm}$ và $h_2=6,25\text{ cm}$.
Gọi $V_1,V_2$ lần lượt là thể tích của khối chóp nhỏ (đỉnh $S$, đáy $3$) và khối chóp lớn (đỉnh $S$, đáy $5$). Gọi mặt phẳng cắt nằm cách đỉnh $S$ một khoảng $h_x$, tạo thành khối chóp có thể tích $V_x$. Phần bị cắt đi là một khối chóp cụt có thể tích $V_{\text{ca˘ˊt}}=V_x-V_1=\frac{1}{2}(V_2-V_1)\iff V_x=\frac{V_1+V_2}{2}$.
Ta có $\frac{V_x}{V_2}={\left(\frac{h_x}{h_2}\right)}^3$ và $\frac{V_1}{V_2}={\left(\frac{3}{5}\right)}^3=\frac{27}{125}$.
Từ đó $\frac{V_x}{V_2}=\frac{1}{2}\left(\frac{27}{125}+1\right)=\frac{76}{125}\Rightarrow h_x=h_2\cdot \sqrt[3]{\frac{76}{125}}=1,25\cdot \sqrt[3]{76}\approx 5,294\text{ cm}$.
Chiều cao $h$ của phần bị cắt đi là $h=h_x-h_1\approx 5,294-3,75=1,544\approx 1,54\text{ cm}$.