Một nhóm mật mã học đưa ra thử thách "Bánh xe số". Người chơi cần chọn ra $7$ số phân biệt từ tập hợp $S=\{1;2;3;\dots ;9\}$ và xếp vào $7$ ô tròn gồm một ô tâm $O$ và sáu ô $A,B,C,D,E,F$ xung quanh như hình vẽ. Mật mã được mở nếu ba bộ ba số nằm trên ba đường chéo đi qua tâm là $(A,O,D),(B,O,E),(C,O,F)$ đều lập thành cấp số cộng theo thứ tự đó. Giả sử người chơi chọn ngẫu nhiên $7$ số từ tập $S$ và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí. Gọi $a$ là xác suất để mật mã được mở. Giá trị của $\frac{1}{a}$ bằng bao nhiêu?

Số phần tử của tập hợp $S$ là $9$. Không gian mẫu là số cách chọn $7$ số từ $9$ số và xếp vào $7$ vị trí phân biệt: $n(\Omega )={\mathrm{A}}_9^7=181440$.
Gọi biến cố $K$: "Mật mã được mở". Theo giả thiết, các bộ ba trên đường chéo lập thành cấp số cộng, suy ra số ở tâm $O$ là trung bình cộng của hai số ở hai đầu mút: $A+D=B+E=C+F=2O$.
- Trường hợp 1: $O=5$. Tổng mỗi cặp bằng $10$: $\{1;9\},\{2;8\},\{3;7\},\{4;6\}$ ($4$ cặp). Số cách chọn và xếp: $n_1=1\cdot {\mathrm{C}}_4^3\cdot 3!\cdot 2^3=192$ cách.
- Trường hợp 2: $O=4$. Tổng mỗi cặp bằng $8$: $\{1;7\},\{2;6\},\{3;5\}$ ($3$ cặp). Số cách chọn và xếp: $n_2=1\cdot 1\cdot 3!\cdot 2^3=48$ cách.
- Trường hợp 3: $O=6$. Tổng mỗi cặp bằng $12$: $\{3;9\},\{4;8\},\{5;7\}$ ($3$ cặp). Số cách chọn và xếp: $n_3=1\cdot 1\cdot 3!\cdot 2^3=48$ cách.
- Các trường hợp khác của $O$: không đủ $3$ cặp.
Tổng số kết quả thuận lợi: $n(K)=192+48+48=288$.
Xác suất cần tìm: $a=\frac{288}{181440}=\frac{1}{630}$. Vậy $\frac{1}{a}=630$.