Người ta dùng các que diêm có độ dài bằng nhau để xếp thành các hình tam giác đều, biết cạnh của tam giác đều ở hình thứ $n+1$ gấp đôi cạnh của tam giác đều ở hình thứ $n$ (với $n$ là số nguyên dương) như hình vẽ dưới đây.

Để xếp hình thứ $15$ thì cần dùng $a$ que diêm. Số ước nguyên của $a$ là

Gọi $u_n$ là độ dài cạnh (tính bằng đơn vị que diêm) của tam giác đều ở hình thứ $n$.
Theo đề bài, cạnh của hình sau gấp đôi hình trước, nên dãy số $(u_n)$ lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q=2$. Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là $u_n=u_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$.
Với hình thứ $15$, độ dài cạnh của tam giác là $u_{15}=2^{15-1}=2^{14}$.
Số que diêm cần dùng để xếp kín một tam giác đều cạnh $k$ được tính theo công thức $S_k=\frac{3k(k+1)}{2}$.
Thay $k=u_{15}=2^{14}$ vào công thức, ta có số que diêm $a$ là:
$a=\frac{3\cdot 2^{14}\cdot (2^{14}+1)}{2}=3\cdot 2^{13}\cdot (2^{14}+1).$
Ta có $2^{14}+1=16384+1=16385=5\cdot 3277=5\cdot 29\cdot 113$.
Suy ra dạng phân tích tiêu chuẩn của $a$ là $a=2^{13}\cdot 3^1\cdot 5^1\cdot 29^1\cdot 113^1$.
Số lượng các ước nguyên dương của $a$ là $(13+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=14\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=224$.
Vì đề bài hỏi số ước nguyên (bao gồm cả ước âm và ước dương), nên kết quả là $224\cdot 2=448$. Chọn đáp án D.