Cho khối chóp $S.ABC$. Trên ba cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt lấy ba điểm $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{SA}=2\overrightarrow{S{A}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }B}=2\overrightarrow{S{B}^{\prime }},\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+3\overrightarrow{S{C}^{\prime }}=\vec{0}$. Mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ chia khối chóp $S.ABC$ thành hai khối. Gọi $V$ và $V^{\prime }$ lần lượt là thể tích các khối đa diện $S.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Khi đó tỉ số $\frac{V}{V^{\prime }}$ là:

Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, điểm $M$ nằm trên cạnh $C{C}^{\prime }$ thỏa mãn $C{C}^{\prime }=3CM$. Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }M)$ chia khối hộp thành hai khối đa diện. Gọi $V_1$ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh $A^{\prime }$, $V_2$ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh $B$. Tính tỉ số thể tích $V_1$ và $V_2$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích bằng $9a^3$. Các điểm $M,N,P$ lần lượt thuộc các cạnh $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ sao cho $\frac{AM}{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2},\frac{BN}{B{B}^{\prime }}=\frac{1}{3};\frac{CP}{C{C}^{\prime }}=\frac{2}{3}$. Tính thể tích $V$ của khối đa diện $ABC.MNP$.

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi, $\widehat{BAD}=120^{\circ }$, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt đáy trùng với tâm của đáy. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $BD$ và vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$ cắt $SC$ tại $E$. Giả sử tỉ số thể tích của khối chóp $S.ABCD$ và thể tích khối chóp $B.DCE$ bằng $k$. Giá trị của $k$ thuộc khoảng nào sau đây để góc tạo bởi mặt phẳng $(SBC)$ và mặt đáy bằng $60^{\circ }$.

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AC=2AB=2a$. Hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và góc giữa các mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABC)$ bằng $60^{\circ }$. Gọi $M,N$ lần lượt là các điểm sao cho $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{AS}$ và $\overrightarrow{CN}=3\overrightarrow{AS}$. Tính thể tích của khối đa diện $ABCSMN$ theo $a$.

Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng 2020. Gọi $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $BCD,ACD,ABD,ABC$. Tính thể tích $V$ của khối tứ diện $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 3. Thể tích khối chóp $A.BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?