Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AD=AB=a,A^{\prime }D=A^{\prime }B=2a,BD=a\sqrt{2}$. Giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng:

Ta có $AB=AD=a$ và $BD=a\sqrt{2}$ nên tam giác $ABD$ vuông cân tại $A$, diện tích $S_{ABCD}=2S_{ABD}=a^2$. Chiều cao của khối hộp đạt giá trị lớn nhất khi mặt phẳng $(A^{\prime }BD)\perp (ABCD)$. Khi đó khoảng cách từ $A^{\prime }$ đến $(ABCD)$ đạt cực đại $h=\frac{a\sqrt{14}}{2}$. Do đó thể tích lớn nhất của khối hộp là $V=S_{ABCD}\cdot h=\frac{a^3\sqrt{14}}{2}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn D.