Cho $z$ là số phức thỏa $|z|=|z+2i|$. Giá trị nhỏ nhất của $|z-1+2i|+|z+1+3i|$ là:

Gọi $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$. Ta có $|x+yi|=|x+(y+2)i|\iff x^2+y^2=x^2+(y+2{)}^2\iff 4y+4=0\iff y=-1$.
Vậy tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $\Delta :y=-1$.
Xét hai điểm $A(1;-2)$ và $B(-1;-3)$. Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là $MA+MB$.
Nhận xét $A$ và $B$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $\Delta :y=-1$ (vì $y_A=-2<-1$ và $y_B=-3<-1$).
Lấy điểm $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua $\Delta$: $A^{\prime }(1;0)$.
Khi đó $MA+MB=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B=\sqrt{(-1-1{)}^2+(-3-0{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.