Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh bằng $a$. Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, và khoảng cách từ $A$ đến cạnh $SD$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

a) Chứng minh rằng $CB\perp (SAB)$

b) Tính khoảng cách từ trọng tâm $G$ của tam giác $SAD$ đến mặt phẳng $(SAC)$.

a) Theo giả thiết có $CB\perp AB$ (Do ABCD là hình vuông) (1)

Lại có $SA\perp (ABCD),CB\in (ABCD)\Rightarrow SA\perp CB$ (2)

AB, SA cắt nhau tại A, cùng thuộc (SAB) (3)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow CB\perp (SAB)$ (0,5 điểm).



b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SD $\Rightarrow d(\text{A},\text{SD})=AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Từ công thức $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{D}^2}$ tính được $SA=a\sqrt{3}$

Gọi G là trọng tâm tam giác SAD và $d\left(D,(SAC)\right)=DO=a\sqrt{2}$. (0,25 điểm)

Ta có

$$\frac{d\left(G,(SAC)\right)}{d\left(D,(SAC)\right)}=\frac{1}{3}\iff d\left(G,(SAC)\right)=\frac{1}{3}d\left(D,(SAC)\right)=\frac{DO}{3}=\frac{a\sqrt{2}}{6}.$$

Ta có: $\frac{d\left(G,(SAC)\right)}{d\left(B,(SAC)\right)}=\frac{1}{3}\iff d\left(G,(SAC)\right)=\frac{1}{3}d\left(B,(SAC)\right)=\frac{BO}{3}=\frac{a\sqrt{2}}{6}$

$$\Rightarrow d\left(G,(SAC)\right)=\frac{a\sqrt{2}}{6}$$ (0,25 điểm).