Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật cạnh $AB=16a$ và O là giao điểm hai đường chéo, biết các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và góc giữa mặt bên (SAD) và mặt đáy bằng $30^0$. Gọi $M$ là trung điểm $SA$. Biết khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(SBC)$ là $m.a$. Tính giá trị của $m$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì các cạnh bên bằng nhau nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại $O$ (tâm hình chữ nhật). Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ xuống $AD$, khi đó $OH=\frac{AB}{2}=8a$ và góc giữa $(SAD)$ và đáy là góc $SHO=30^{\circ }$, suy ra $SO=OH\cdot \tan 30^{\circ }=\frac{8a}{\sqrt{3}}$.

Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ cắt nhau theo đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với $AD$ (vì $AD\parallel BC$). Vì hình chóp đối xứng nên cả $(SAD)$ lẫn $(SBC)$ đều tạo với đáy góc $30^{\circ }$ ở hai phía, do đó góc giữa hai mặt phẳng này bằng $60^{\circ }$.

Vì $A\in (SAD)$ nên khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ là:
$$d(A,(SBC))=d(A,d)\cdot \sin 60^{\circ }.$$

Đường thẳng $d$ đi qua $S$ song song với $AD$ (phương vuông góc với $AB$ trong mặt phẳng đáy), nên khoảng cách từ $A$ đến $d$ là:
$$d(A,d)=\sqrt{S{O}^2+O{H}^2}=\sqrt{\frac{64a^2}{3}+64a^2}=\frac{16a}{\sqrt{3}}.$$

Do đó:
$$d(A,(SBC))=\frac{16a}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8a.$$

Vì $M$ là trung điểm $SA$ và $S\in (SBC)$ nên:
$$d(M,(SBC))=\frac{1}{2}d(A,(SBC))=4a.$$

Vậy $m=4$, khớp với đáp án đã cho.