Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $8a$ và $\widehat{DAB}=120^0$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=6a$. Tính cosin góc tạo bởi $SD$ và mặt phẳng $(SAC)$ (làm tròn hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo hình thoi. Vì $\widehat{DAB}=120^0$ nên $BD=2\cdot 8a\sin 60^0=8a\sqrt{3}$, $AC=2\cdot 8a\cos 60^0=8a$. Suy ra $DO=4a\sqrt{3}$, $AO=4a$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp DO$; lại có $DO\perp AC$ nên $DO\perp (SAC)$, tức $O$ là hình chiếu của $D$ trên $(SAC)$. Góc giữa $SD$ và $(SAC)$ là góc giữa $SD$ và $SO$, tức góc $\widehat{SDO}$. Ta có $SO=\sqrt{S{A}^2+A{O}^2}=\sqrt{36a^2+16a^2}=2a\sqrt{13}$, $SD=\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}=\sqrt{36a^2+64a^2}=10a$. Áp dụng định lí cosin trong tam giác $SDO$: $\cos \widehat{SDO}=\frac{S{D}^2+D{O}^2-S{O}^2}{2\cdot SD\cdot DO}=\frac{100a^2+48a^2-52a^2}{2\cdot 10a\cdot 4a\sqrt{3}}=\frac{96}{80\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{5}\approx 0,6928\approx 0,69$. Khớp với đáp án nguồn 0,69.