Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$; mặt bên tạo với đáy một góc $60^{\circ }$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $AB$ và tạo với đáy một góc $30^{\circ }$ và cắt các $SC,SD$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABMN$ theo $a$.

Chọn D.
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD\Rightarrow SO\perp (ABCD)$.
Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khi đó góc giữa mặt bên $(SCD)$ và đáy là góc $\widehat{SKO}=60^{\circ }$.
Chiều cao hình chóp $SO=OK\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{a}{2}\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V_0=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.
Mặt phẳng $(P)$ chứa $AB$ tạo với đáy góc $30^{\circ }$ cắt $SK$ tại $J$. Sử dụng định lý hàm số sin và tỉ số thể tích hình chóp đa giác, ta tính được tỉ số thể tích $\frac{V_{S.ABMN}}{V_0}=\frac{3}{8}$.
Thể tích khối chóp $S.ABMN$ là:
$V = \frac{3}{8} \cdot \frac{a^3 \sqrt{3}}{6} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{16}.