Cho biết $I={\int }_0^1\frac{dx}{(x+1)(x+2)}=a\ln 2+b\ln 3$, trong đó $a,b$ là các số nguyên. Khi đó giá trị của tổng $2a+3b$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a,b]$. Biết ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=2026$, giá trị của ${\int }_b^{a}2f(x)\mathrm{d}x$ là

Câu 7: Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng:

Câu 4: Để chuẩn bị cho lễ kỷ niệm 20 năm ngày ra trường, ban tổ chức quyết định đặt hàng một đơn vị thủ công mỹ nghệ để chế tác các huy hiệu cài áo đặc biệt. Huy hiệu được thiết kế trên một phôi bạc hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $20\text{ mm}$. Theo bản vẽ kỹ thuật từ các nghệ nhân, cấu trúc của huy hiệu được phân chia như sau: lấy một điểm $M$ được xác định bên trong phôi bạc sao cho khoảng cách từ $M$ đến cạnh dưới $OA$ là $4\text{ mm}$ và cách cạnh bên trái $OC$ là $8\text{ mm}$, cạnh vòm là một nửa cung tròn đi qua ba điểm $O,M,C$; đường lượn là một phần của đường Parabol đi qua ba điểm $O,M,A$. Phần tô đậm trong bản vẽ sẽ được phủ men sứ màu xanh lam. Các phần còn lại sẽ được giữ nguyên màu bạc để khắc tên trường và niên khóa. Chọn trục tọa độ như hình vẽ. Tính diện tích phần tô đậm trong bản vẽ được phủ men sứ màu xanh. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị ${\text{mm}}^2$).

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn  -1; 4 . Nếu  f ( x ) dx = -2 thì  -2 f ( x ) dx bằng
-1 4

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là F ( x ) . Nếu  f ( 2 x ) dx = 6 thì giá
0

trị F ( 0 ) - F ( 2 ) bằng

Cho hàm số ch phân y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn
$\pi$

$\pi$
4

f ( x ) + f  - x  = 1 + sin 2 x , với mọi x $\in$ $\mathbb{R}$ và f ( 0 ) = 0 . Giá trị của tích phân  x. f ' ( 2 x ) dx
2  0

gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?