Cho hàm số ch phân y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn
$\pi$

$\pi$
4

f ( x ) + f  - x  = 1 + sin 2 x , với mọi x $\in$ $\mathbb{R}$ và f ( 0 ) = 0 . Giá trị của tích phân  x. f ' ( 2 x ) dx
2  0

gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

Chọn B
$\pi$
4
Xét A =  x. f ' ( 2 x ) dx
0

18
1
+) Đặt t = 2 x $\Rightarrow$ dx = dt
2

$\pi$ $\pi$
+) x = 0 $\Rightarrow$ t = 0; x = $\Rightarrow$ t =
4 2
$\pi$ $\pi$ $\pi$ $\pi$
[ ] [ ]
12t 12 1 $\pi$ 2
 1  $\pi$  $\pi$ 
2

$\Rightarrow$ A =  . f ' ( t ) dt =  t. f ' ( t ) dt = t f ( t ) 02 -  f ( t ) dt  =  f   -  f ( t ) dt 
202 40 4 4 2 2 0
[ 0
] [ ]

$\pi$ 
Xét f ( x ) + f  - x  = 1 + sin 2 x (*)
2 

$\pi$  $\pi$ 
+) Từ (*) suy ra f ( 0 ) + f   = 1 , mà f ( 0 ) = 0 $\Rightarrow$ f   = 1
2 2
$\pi$ $\pi$ $\pi$

$\pi$
2 2 2

+) Từ (*) suy ra  f ( x ) dx +  f  - x  dx =  (1 + sin 2 x ) dx (**)
0 0 2  0

$\pi$ $\pi$

$\pi$
2 2

Đặt I =  f ( x ) dx $\Rightarrow$  f  - x  dx = I
0 0 2 

$\pi$ $\pi$ 1
Khi đó (**) $\iff$ 2 I = +1 $\iff$ I = +
2 4 2
$\pi$

12t 1 [$\pi$ $\pi$ 1] $\pi$ 1
$\Rightarrow$ A =  . f ' ( t ) dt =  .1 - -  = - $\approx$ 0, 07 .
202 4[2 4 2 ] 16 8

 3x - 1 