Cho hàm số $y=f(x)=x^3-3x^2+4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$.
a) Trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến: đúng.
b) Hàm bậc ba với hệ số của $x^3$ dương nên ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$: đúng.
c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f(0)=4$, $f(2)=8-12+4=0$. Hai điểm cực trị là $A(0;4)$, $B(2;0)$ nên $AB=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$: sai.
d) $f(x)=x^3-3x^2+4=(x-2{)}^2(x+1)$ nên với $x\ne -1,2$: $y=\frac{x+1}{f(x)}=\frac{1}{(x-2{)}^2}$. Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1}\frac{1}{(x-2{)}^2}=\frac{1}{9}\ne \infty$ nên không phải tiệm cận đứng. Tại $x=2$: ${\lim }_{x\to 2}\frac{1}{(x-2{)}^2}=+\infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng. Vậy đồ thị chỉ có đúng một đường tiệm cận đứng: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm bậc ba với hệ số của $x^3$ dương nên ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; hai điểm cực trị là $A(0;4)$, $B(2;0)$ nên $AB=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=(x-2{)}^2(x+1)$ nên $\frac{x+1}{f(x)}=\frac{1}{(x-2{)}^2}$ với $x\ne -1,2$. Tại $x=-1$ giới hạn bằng $\frac{1}{9}\ne \infty$ (không phải tiệm cận đứng); tại $x=2$ giới hạn bằng $+\infty$ (tiệm cận đứng). Vậy chỉ có đúng một đường tiệm cận đứng.