Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+5$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(2f(x)-1)=m$ có đúng $3$ nghiệm thực $x$?

Đặt $u=2f(x)-1=2x^3-6x^2+9$, có $u_{\text{CĐ}}=u(0)=9,u_{\text{CT}}=u(2)=1$. Phương trình $2f(x)-1=u$ có $1$ nghiệm $x$ khi $u>9$ hoặc $u<1$; $2$ nghiệm khi $u\in \{1;9\}$; $3$ nghiệm khi $1<u<9$. Mặt khác hàm số $f(u)=u^3-3u^2+5$ đồng biến trên $(2;+\infty )$ với $f(0)=5,f(1)=3,f(2)=1,f(9)=491$. Kiểm tra số nghiệm của $f(u)=m$ dẫn đến số nghiệm $x$: theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101), có $485$ giá trị nguyên của $m$ (đáp án C).