Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để phương trình $\left(m+\sqrt{m^2+2m+2}+1\right)\left[f^2(x)+\sqrt{f^4(x)+1}\right]=1$ có $6$ nghiệm phân biệt.

Nhân liên hợp hai vế, phương trình tương đương $f^2(x)+\sqrt{f^4(x)+1}=-(m+1)+\sqrt{[-(m+1){]}^2+1}$. Xét hàm số $g(t)=t+\sqrt{t^2+1}$ có $g^{\prime }(t)=1+\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}>0,\forall t\in \mathbb{R}$, nên $g(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó phương trình trở thành $f^2(x)=-m-1\iff |f(x)|=\sqrt{-m-1}$. Dựa vào đồ thị hàm số $y=|f(x)|$, phương trình có $6$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $2<\sqrt{-m-1}<3\iff 4<-m-1<9\iff -10<m<-5$. Vì $m$ nguyên âm nên $m\in \{-9;-8;-7;-6\}$, có $4$ giá trị. Chọn A.