Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$. Tính thể tích khối chóp $A.BCNM$. Biết mặt phẳng $(AMN)$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$.

Gọi $E$ là trung điểm $BC$, $I$ là trung điểm $SE$ (giao điểm của $MN$ và $SE$). Vì $(AMN)\perp (SBC)$ theo giao tuyến $MN$ và $AI\perp MN$ nên $AI\perp (SBC)\Rightarrow AI\perp SE$. Tam giác $SAE$ có đường trung tuyến $AI$ đồng thời là đường cao nên $SA=AE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Chiều cao khối chóp là $SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$. Khi đó $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SO\cdot S_{ABC}=\frac{a^3\sqrt{5}}{24}$, suy ra $V_{A.BCNM}=\frac{3}{4}{V}_{S.ABC}=\frac{a^3\sqrt{5}}{32}$.