Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số $g(x)=f(f(|x|))$ có tất cả bao nhiêu điểm cực đại?

[IMAGE_1]

Xét $h(x)=f(f(x))$ trên $(0;+\infty )$, ta có $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)f^{\prime }(f(x))$. Đạo hàm $h^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $6$ điểm trên $(0;+\infty )$ gồm $x=2$, nghiệm $a_1\in (2;4)$ của $f(x)=0$, $x=4$, và $3$ nghiệm $a_2<b_1<c_1$ trên $(4;+\infty )$ của $f(x)=0,2,4$ (tại $x=2$, $f(x)\le 2$ không đổi dấu qua $2$ nên $f^{\prime }(f(x))$ không đổi dấu, còn $f^{\prime }(x)$ đổi dấu). Khi đó $h(x)$ đạt cực đại tại $3$ điểm $x=2,x=4,x=b_1>0$ và đồng biến trên $(0;2)$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu của $g(x)=h(|x|)$. Suy ra $g(x)$ có $3+3=6$ điểm cực đại.