Cho hàm số $y=f(x)=\frac{2x^6}{3}+\frac{4x^5}{5}-5x^4-\frac{m+8}{3}{x}^3+\frac{28-m}{2}{x}^2+(2m-8)x+1$, với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$, hàm số $y=f(|x|)$ có $7$ điểm cực trị?

Hàm số chẵn $y=f(|x|)$ có $7$ điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $y=f(x)$ có đúng $3$ điểm cực trị dương. Ta có $f^{\prime }(x)=4x^5+4x^4-20x^3-(m+8)x^2+(28-m)x+2m-8=(x-1)(x+2)\left[4x^3+(28-m)x\dots \right]=(x+2)\left(4x^4-4x^3-12x^2-(m-16)x+m-4\right)=(x+2)(x-1)\left(4x^3-12x-m+4\right)$. Để $f^{\prime }(x)=0$ có đúng $3$ nghiệm dương phân biệt (đều là nghiệm bội lẻ), vì đã có $x=1>0$, phương trình $4x^3-12x+4=m$ phải có $2$ nghiệm dương phân biệt khác $1$. Xét $h(x)=4x^3-12x+4$ trên $(0;+\infty )$, ta có $h^{\prime }(x)=12(x^2-1)=0\iff x=1(x>0)$, $h(0)=4,h(1)=-4$. Vậy $h(x)=m$ có $2$ nghiệm dương phân biệt khi $-4<m<4$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2;-1;0;1;2;3\}$, có $7$ giá trị nguyên. Chọn C.