Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2-2x& \text{khi }x\le 1\\ 2-x^2& \text{khi }x>1\end{array}$. Tính tích phân ${\int }_1^e\frac{f(3\ln x-1)}{x}dx$.

Cho ${\int }_1^{4}f(x)\mathrm{d}x=-4,{\int }_1^{4}g(x)\mathrm{d}x=8$. Tính ${\int }_1^4\left[4f(x)-8g(x)\right]\mathrm{d}x$.

Nếu ${\int }_{-3}^{1}f(x)\mathrm{d}x=5$ thì ${\int }_1^{-3}5f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Nếu ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=3$ thì ${\int }_1^3\left[f(x)-5\right]\mathrm{d}x$ bằng

Xét $f(x)=a{x}^5+b{x}^3+c{x}^2+dx+e(a,b,c,d,e\in \mathbb{R})$ sao cho đồ thị hàm số $y=f(x)$ có $4$ điểm cực trị với hoành độ nguyên là $A,B,C\left(1;-\frac{197}{15}\right),D\left(2;-\frac{169}{15}\right)$. Gọi $y=g(x)$ là hàm số bậc ba đi qua các điểm $A,B,C,D$. Khi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=1;x=2$ có diện tích bằng $\frac{11}{20}$ thì ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=-\frac{m}{n}$, với $m,n$ nguyên dương và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản. Tính $S=m\cdot n$.

Nếu ${\int }_0^{2}f(x)dx=4$ thì ${\int }_0^2[\frac{1}{2}f(x)-2]dx$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d:y=g(x)$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x=-1$. Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và $d$ bằng 108. Giao điểm thứ hai của đường cong $(C)$ và đường thẳng $d$ có hoành độ $m>0$. Giá trị của $m$ thuộc khoảng nào sau đây?