Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ và $m\in [-2021;2021]$ để phương trình $\log \left(\frac{f(x)}{m{x}^2}\right)+x[f(x)-mx]=m{x}^3-f(x)$ có hai nghiệm dương phân biệt?

Phương trình tương đương:
$\log f(x)-\log (m{x}^2)+xf(x)-m{x}^2=m{x}^3-f(x)\iff \log f(x)+(x+1)f(x)=\log (m{x}^2)+m{x}^2(x+1)$.
Xét hàm số đặc trưng $g(t)=\log t+(x+1)t$ với $t>0$ và $x>0$. Hàm số $g(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Do đó phương trình tương đương với $f(x)=m{x}^2\iff m=\frac{f(x)}{x^2}$.
Từ đồ thị hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có các điểm cực trị tại $x=0,x=\pm 1$ và đi qua $(0;3)$, $(1;4)$, $(-1;4)$, ta xác định được công thức của $f(x)=-x^4+2x^2+3$.
Khảo sát hàm số $h(x)=\frac{-x^4+2x^2+3}{x^2}=-x^2+2+\frac{3}{x^2}$ trên khoảng $(0;+\infty )$:
Đạo hàm $h^{\prime }(x)=-2x-\frac{6}{x^3}<0,\forall x>0$, hoặc xét kỹ điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
Phân tích bảng biến thiên cho thấy số giá trị nguyên của $m\in [-2021;2021]$ là 2019 giá trị.

Chọn đáp án D.