Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, ($a\ne 0$) có đồ thị như hình bên. Gọi $S$ là tập các giá trị nguyên của $m$ thuộc khoảng $(-2019;2021)$ để đồ thị hàm số $g(x)=\frac{(x+1)\sqrt{f(x)}}{(f(x)-2)(x^2-2mx+m+2)}$ có 5 đường tiệm cận (tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang). Số phần tử của tập $S$ là

Đồ thị hàm số bậc ba $y=f(x)$ có hai điểm cực trị là $(1;0)$ và $(-1;2)$, đi qua các điểm $(-2;0)$ và $(2;2)$.
Do đó $f(x)=\frac{1}{2}(x-1{)}^2(x+2)$. Điều kiện xác định để tồn tại căn thức là $f(x)\ge 0\iff x\ge -2$.
- Tiệm cận ngang: Vì bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu khi $x\to +\infty$ nên đồ thị có đúng 1 tiệm cận ngang $y=0$.
- Tiệm cận đứng: Xét mẫu số $M(x)=(f(x)-2)(x^2-2mx+m+2)$.
Ta có $f(x)-2=0\iff \frac{1}{2}(x-1{)}^2(x+2)-2=0\iff (x+1{)}^2(x-2)=0\iff x=-1$ (nghiệm kép) hoặc $x=2$ (nghiệm đơn).
Tại $x=-1$, tử số có thừa số $x+1$, do đó $x=-1$ là tiệm cận đứng bậc nhất vì mẫu có $(x+1{)}^2$. Tại $x=2$, mẫu triệt tiêu nhưng tử khác 0, nên $x=2$ là 1 tiệm cận đứng nữa. Vậy $f(x)-2=0$ tạo ra 2 đường tiệm cận đứng $x=-1$ và $x=2$.
Để đồ thị có đúng 5 đường tiệm cận thì phương trình $x^2-2mx+m+2=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn $-2$ và khác $\{-1;2\}$.
Điều này dẫn đến hệ điều kiện cho $m$, tính toán cho ra 2017 giá trị nguyên của $m$ trong khoảng $(-2019;2021)$.

Chọn đáp án C.