Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $B^{\prime }{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }B$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $MN$ và tạo với mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ một góc $\alpha$ sao cho $\tan \alpha =\sqrt{2}$. Biết $(P)$ cắt các cạnh $D{D}^{\prime }$ và $DC$. Khi đó mặt phẳng $(P)$ chia khối lập phương thành hai phần, gọi thể tích phần chứa điểm $A$ là $V_1$ và phần còn lại có thể tích $V_2$. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ là

Một viên đá quý có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông cạnh $6\text{ mm}$ và chiều cao $6\text{ mm}$. Nhà chế tác tạo hình cho viên đá quý để gắn vào sản phẩm đã được đặt hàng. Ông cắt viên đá theo các mặt phẳng đi qua tâm của đáy, lần lượt song song với các cạnh đáy và vuông góc với các mặt bên để thu được viên đá hoàn thiện (phần được tô màu xám trong hình vẽ tham khảo bên). Thể tích của viên đá hoàn thiện gần nhất với kết quả nào sau đây?

Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích $V$ và $M$ là trọng tâm tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Thể tích khối chóp $M.ABC$ là

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $N$ là điểm nằm trên cạnh $D{D}^{\prime }$ sao cho $DN=3N{D}^{\prime }$. Mặt phẳng $(BMN)$ chia khối lập phương thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_1,V_2(V_1<V_2)$, tính $\frac{V_1}{V_2}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, biết $SC=a\sqrt{3}$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SB,SD,CD,BC$. Thể tích của khối chóp $A.MNPQ$ có dạng $\frac{m{a}^3}{n}$ (với $m,n$ là các số tự nhiên; phân số $m/n$ là phân số tối giản). Tính tổng $m+n$.

Cho tứ diện $MNPQ$. Gọi $I,J,K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $MN,MP,MQ$. Tính tỉ số thể tích $\frac{V_{MIJK}}{V_{MNPQ}}$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=4,SA\perp (ABC)$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AC=2$. $H,K$ lần lượt thuộc $SB,SC$ sao cho $HS=HB;KC=2KS$. Thể tích khối chóp $A.BHKC$ bằng