Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích $V$ và $M$ là trọng tâm tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Thể tích khối chóp $M.ABC$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, biết $SC=a\sqrt{3}$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SB,SD,CD,BC$. Thể tích của khối chóp $A.MNPQ$ có dạng $\frac{m{a}^3}{n}$ (với $m,n$ là các số tự nhiên; phân số $m/n$ là phân số tối giản). Tính tổng $m+n$.

Cho tứ diện $MNPQ$. Gọi $I,J,K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $MN,MP,MQ$. Tính tỉ số thể tích $\frac{V_{MIJK}}{V_{MNPQ}}$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=4,SA\perp (ABC)$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AC=2$. $H,K$ lần lượt thuộc $SB,SC$ sao cho $HS=HB;KC=2KS$. Thể tích khối chóp $A.BHKC$ bằng

Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $C^{\prime }{A}^{\prime }$. Tính thể tích của khối đa diện lồi $ABC.MNP$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật cạnh $AB=1,AD=2$. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=2$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $A$ lên các cạnh $SB,SD,DB$. Thể tích khối chóp $A.MNP$ bằng

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$; mặt bên tạo với đáy một góc $60^{\circ }$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $AB$ và tạo với đáy một góc $30^{\circ }$ và cắt các $SC,SD$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABMN$ theo $a$.