Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $C^{\prime }{A}^{\prime }$. Tính thể tích của khối đa diện lồi $ABC.MNP$?

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$; mặt bên tạo với đáy một góc $60^{\circ }$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $AB$ và tạo với đáy một góc $30^{\circ }$ và cắt các $SC,SD$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABMN$ theo $a$.

Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $2a$ và cạnh bên bằng $3a$. Gọi $M$ là điểm thay đổi trên cạnh $AB$, $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$, đồng thời song song với $SA$ và $BC$, $(H)$ là thiết diện của hình chóp cắt bởi $(P)$. Khi $M$ di chuyển đến vị trí để $(H)$ là hình thoi thì $(P)$ chia khối chóp $S.ABC$ thành hai khối đa diện, tính thể tích $V$ của khối đa diện chứa đỉnh $A$.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên hợp với đáy một góc $60^{\circ }$. Gọi $M$ là điểm đối xứng với $C$ qua $D$; $N$ là trung điểm của $SC$, mặt phẳng $(BMN)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần. Gọi $(H_1)$ là phần đa diện chứa điểm $S$ có thể tích $V_1$; $(H_2)$ là phần đa diện còn lại có thể tích $V_2$. Tính tỉ số thể tích $\frac{V_1}{V_2}$.

Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $M,N,P$ theo thứ tự là trung điểm của $SA,SB,SC$. Tỉ số thể tích của khối chóp $S.MNP$ với khối chóp $S.ABC$ bằng

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành $ABCD$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $SAB,SBC,SCD,SDA$. Biết thể tích khối chóp $S.MNPQ$ là $V$, khi đó thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là:

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,AB=3,BC=4$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $SC$ cắt $SB,SC$ lần lượt tại $M,N$. Biết thể tích khối chóp $S.AMN$ bằng $\frac{48}{25}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$: