Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\lim }_{h\to 0}\frac{3f(h)-1}{6h}=\frac{2}{3}$ và $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)+2x_1{x}_2(x_1+x_2)-\frac{1}{3}$, $\forall x_1,x_2\in \mathbb{R}$. Tính $f(2)$.

Thay $x_1=x_2=0$ vào đẳng thức: $f(0)=f(0)+f(0)-\frac{1}{3}\Rightarrow f(0)=\frac{1}{3}$.
Từ giả thiết giới hạn: ${\lim }_{h\to 0}\frac{3f(h)-1}{6h}={\lim }_{h\to 0}\frac{f(h)-1/3}{2h}=\frac{1}{2}{f}^{\prime }(0)=\frac{2}{3}\Rightarrow f^{\prime }(0)=\frac{4}{3}$.
Theo định nghĩa đạo hàm tại điểm $x$:
$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{f(h)+2xh(x+h)-1/3}{h}={\lim }_{h\to 0}\left(\frac{f(h)-1/3}{h}+2x(x+h)\right)=f^{\prime }(0)+2x^2=2x^2+\frac{4}{3}$.
Lấy nguyên hàm hai vế: $f(x)=\frac{2x^3}{3}+\frac{4}{3}x+C$.
Vì $f(0)=\frac{1}{3}\Rightarrow C=\frac{1}{3}$, do đó $f(x)=\frac{2x^3}{3}+\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$.
Khi đó $f(2)=\frac{2(2{)}^3}{3}+\frac{4(2)}{3}+\frac{1}{3}=\frac{16+8+1}{3}=\frac{25}{3}$.

Chọn đáp án D.