Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a$ để hàm số $g(x)=f\left(\frac{1}{8}(2x^4+a)-2x^2\right)$ đồng biến trên khoảng $(0;1)$?

Dựa vào đồ thị, $f^{\prime }(u)\le 0\iff 0\le u\le 2$. Ta có $g^{\prime }(x)=(x^3-4x)f^{\prime }(u)$. Vì $x\in (0;1)$ nên $x^3-4x=x(x-2)(x+2)<0$. Do đó hàm số $g(x)$ đồng biến trên $(0;1)\iff g^{\prime }(x)\ge 0\iff f^{\prime }(u)\le 0\iff 0\le u\le 2$ với mọi $x\in (0;1)$. Ta có $u=\frac{1}{8}(2x^4+a)-2x^2\in [0;2]\iff 16x^2-2x^4\le a\le 16x^2-2x^4+16$ với mọi $x\in (0;1)$. Xét $h(x)=16x^2-2x^4$ đồng biến trên $[0;1]$ với $\min h(x)=h(0)=0$ và $\max h(x)=h(1)=14$. Do đó $14\le a\le 16$. Vì $a\in \mathbb{Z}$ nên $a\in \{14;15;16\}$, có 3 giá trị nguyên của $a$. Vậy chọn A.