Cho đoạn $AB$ và điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\vec{0}$.

a) Tìm số $k$ mà $\overrightarrow{AI}=k\overrightarrow{AB}$.

b) Chứng minh với mọi điểm M thì có $\overrightarrow{MI}=\frac{2}{5}\overrightarrow{MA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{MB}$.

Cho hình vuông $ABCD$ có $AB=a$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A(2;8),B(-1;2),C(-2;5)$. Cho điểm $M(a;b)$ thỏa mãn $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0}$. Tính giá trị của $a+b$.

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Trên các cạnh $AD$ và $BC$ lần lượt lấy các điểm $P,Q$ sao cho $3\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AD}$, $3\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{BC}$. Tính vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{MP}$, $\overrightarrow{MQ}$.

Cho tứ diện $ABCD$, $G$ là trọng tâm tứ diện. Gọi $G_1$ là giao điểm của $AG$ và $mp(BCD)$, $G_2$ là giao điểm của $BG$ và $mp(ACD)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Cho hình bình hành ABCD, M trên đoạn AB và N trên đoạn CD sao cho $AM=\frac{1}{3}AB$, $DN=\frac{1}{2}DC$. Gọi I, J là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{BI}=x\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AJ}=y\overrightarrow{AI}$. Tìm $x,y$ để $J$ là trọng tâm tam giác $BMN$.

b) Cho tam giác đều $ABC$. Lấy các điểm $M,N$ thỏa mãn $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Gọi I là giao điểm của $AM$ và $CN$. Chứng minh $BI\perp IC$.

Cho tam giác đều $ABC$, $AB=3$, đường cao $AH$. $M$ là điểm di động trên đường cao $AH$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|5\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|$. (Kết quả để dưới dạng số thập phân)