Cho tam giác $ABC$. Các điểm $M$, $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$ và $BC$. Chứng minh rằng với điểm $O$ bất kì ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên với mọi điểm $O$ ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$ (tính chất trung điểm: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{OM}$ vì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$).

Tương tự, vì $N$ là trung điểm của $AC$: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{ON}$, và vì $P$ là trung điểm của $BC$: $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OP}$.

Cộng ba đẳng thức theo vế:
$$2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}+2\overrightarrow{OP}.$$

Chia hai vế cho 2 ta được:
$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}.$$

Điều này đúng với mọi điểm $O$ (kể cả khi $O$ trùng với một trong các điểm đã cho). Đpcm.