Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Gọi $I$ là trung điểm $AM$ và $K$ là điểm thuộc $AC$ sao cho $AK=\frac{1}{3}AC$. Chứng minh ba điểm $B$, $I$, $K$ thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Chứng minh B, I, K thẳng hàng bằng phương pháp vectơ.

Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

Vì $I$ là trung điểm $AM$ nên:
$$\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).$$

Vì $K\in AC$ với $AK=\frac{1}{3}AC$ nên $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Tính vectơ $\overrightarrow{IK}$:
$$\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{12}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right).$$

Tính vectơ $\overrightarrow{IB}$:
$$\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\left(\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right).$$

So sánh hai kết quả:
$$\overrightarrow{IB}=-3\overrightarrow{IK}.$$

Suy ra $\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{IK}$ cùng phương, mà hai vectơ này có điểm chung $I$, nên ba điểm $B$, $I$, $K$ thẳng hàng. $■$