Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AP}=\vec{0}$

b) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}$, với $O$ là điểm bất kì.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 11. a) Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC})$. Tương tự $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Do đó $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\cdot \vec{0}=\vec{0}$ (đpcm).

b) Theo công thức trung điểm: vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$; vì $N$ là trung điểm $CA$ nên $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{ON}$; vì $P$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OP}$. Cộng vế theo vế ba đẳng thức: $2(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=2(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP})$, suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}$ với mọi điểm $O$ (đpcm).