Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, $M$ là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng

a) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}$.

b) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$.

c) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 12: Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, $M$ điểm bất kì.

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$. Do đó:
$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA})+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}.$$

b) Vì $O$ là tâm hình bình hành nên $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$, suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$. Do đó:
$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}.$$

c) Với điểm $M$ bất kì, ta có $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}$.

Suy ra:
$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{MO}+\vec{0}=2\overrightarrow{MO},$$
$$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{MO}+\vec{0}=2\overrightarrow{MO}.$$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$. (Đẳng thức này cũng đúng với mọi điểm $M$ do $O$ là trung điểm chung của $AC$ và $BD$.)