Bán kính Trái Đất lấy bằng 6400km, khi gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ thì bề mặt Trái Đất là mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2=64$, đường xích đạo nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$. Một tàu vũ trụ X rời khỏi bề mặt Trái Đất theo phương tiếp tuyến với đường tròn vĩ tuyến tại điểm $A\left(5;\sqrt{23};4\right)$, với giả thiết rằng sau khi rời khỏi bề mặt Trái Đất tàu vũ trụ X bay theo quỹ đạo thẳng với tốc độ không đổi bằng $8km/s$. Hỏi sau đúng 20 phút kể từ khi rời khỏi bề mặt Trái Đất thì khoảng cách từ tàu vũ trụ đến một điểm trên đường tròn xích đạo ngắn nhất bằng bao nhiêu kilomet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

(AI giải đề cho tôi)
Đơn vị hóa: bán kính Trái Đất là 8 (nghìn km), tức 1 đơn vị = 800 km. Điểm A(5;√23;4) nằm trên mặt cầu x²+y²+z²=64. Đường tròn vĩ tuyến qua A nằm trong mặt phẳng z=4, tâm C(0;0;4), bán kính √(64−16)=4√3. Vectơ CA=(5;√23;0), vectơ tiếp tuyến tại A trong mặt phẳng z=4 là u=(−√23;5;0)/(4√3) (đơn vị). Tàu bay 20 phút = 1200 s với tốc độ 8 km/s nên quãng đường 9600 km = 12 đơn vị. Vị trí tàu: P = A + 12u = (5−√69; √23+5√3; 4). Đường xích đạo là đường tròn tâm O bán kính 8 trong mặt phẳng (Oxy). Khoảng cách từ P đến đường tròn xích đạo: tính x²+y² = (5−√69)² + (√23+5√3)² = 25−10√69+69+23+75+10√69 = 192, nên √(x²+y²)=8√3. Khoảng cách ngắn nhất = √((8√3−8)² + 4²) = 8√((√3−1)²+1/4) = 8√(4,25−2√3) ≈ 7,0921 đơn vị. Đổi ra km: 7,0921 × 800 ≈ 5673,7 ≈ 5674 km.