Một ngôi nhà gồm hai phần: phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.OMNK$ có chiều dài $1200cm$, chiều rộng $900cm$, chiều cao $450cm$, phần mái nhà dạng hình chóp $S.ABCD$ có các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt đáy một góc $\alpha$ có $\tan \alpha =\frac{1}{5}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có mỗi vectơ đơn vị trên mỗi trục có độ dài $1cm$ sao cho $M$ thuộc tia $Ox$, $K$ thuộc tia $Oy$, $A$ thuộc tia $Oz$ (như hình vẽ).



Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Một ngôi nhà gồm hai phần: phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật ABCD.OMNK có chiều dài 1200 cm, chiều rộng 900 cm, chiều cao 450 cm, phần mái nhà dạng hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt đáy một góc $\alpha$ có $\tan \alpha =\frac{1}{5}$. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có mỗi vecto đơn vị trên mỗi trục có độ dài 1 cm sao cho M thuộc tia Ox, K thuộc tia Oy, A thuộc tia Oz (như hình vẽ).

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Phòng khách nhà bác An có dạng một hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AB=5m$, $BC=6m$, $A{A}^{\prime }=3m$. Để chuẩn bị đón Tết Nguyên Đán bác lên kế hoạch trang trí cho phần không gian của phòng khách bằng các dây đèn trang trí $NC,BM,EF$ được mắc như hình vẽ sau:



Biết rằng $EF$ song song với $AC$ và $BN=2m$; $DM=1m$. Giá mỗi mét dây đèn trang trí là 60000 đồng. Hỏi số tiền bác An cần dùng để mua dây đèn trang trí là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một điểm trong không gian. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $2km$ về phía Nam và $3km$ về phía Đông, đồng thời cách mặt đất $0,5km$; chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1km$ về phía Bắc và $1km$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $0,8km$. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy cả hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi khoảng cách nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu kilomet? (Làm tròn đến hàng phần mười)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(-2;3;1)$, $B(2;1;0)$, $C(-3;-1;1)$. Gọi $D(x;y;z)$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và diện tích tứ giác $ABCD$ bằng 3 lần diện tích tam giác $ABC$. Giá trị của $x+y+z$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)$, $B(0;-2;5)$. Điểm $M$ thay đổi thuộc $(Oxy)$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BM$ bằng bao nhiêu?

Câu 4 (6,0 điểm). Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_1{B}_1{C}_1$. Biết rằng tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $AB=a$ và $A{A}_1=a\sqrt{2}$.

a) Tính góc giữa hai đường thẳng $B{C}_1$ và $AC$.

b) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(A_{1}B{C}_1)$.

c) Gọi $M$, $N$ tương ứng là các điểm di động trên các đoạn thẳng $A_1{C}_1$ và $B{C}_1$ sao cho $MN=\frac{a}{2}$. Xác định vị trí của các điểm $M$, $N$ sao cho thể tích của khối chóp $A.A_{1}BNM$ có giá trị nhỏ nhất.