Câu 4 (6,0 điểm). Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_1{B}_1{C}_1$. Biết rằng tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $AB=a$ và $A{A}_1=a\sqrt{2}$.

a) Tính góc giữa hai đường thẳng $B{C}_1$ và $AC$.

b) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(A_{1}B{C}_1)$.

c) Gọi $M$, $N$ tương ứng là các điểm di động trên các đoạn thẳng $A_1{C}_1$ và $B{C}_1$ sao cho $MN=\frac{a}{2}$. Xác định vị trí của các điểm $M$, $N$ sao cho thể tích của khối chóp $A.A_{1}BNM$ có giá trị nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(44;16;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(-3;-4;0)$ với tốc độ là $8\left(m/s\right)$ (Đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét); giả sử sau $t(s)$ kể từ lúc xuất phát $(t\ge 0)$, cabin đến điểm $M$. Một người đứng tại điểm $O$ quan sát cabin chạy trên cáp treo, sau thời gian bao nhiêu thì khoảng cách giữa người quan sát và cabin gần nhau nhất?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(44;16;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(-3;-4;0)$ với tốc độ là $4(m/s)$ (Đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét); giả sử sau $t(s)$ kể từ lúc xuất phát $(t\ge 0)$, cabin đến điểm $M$. Một người đứng tại điểm $O$ quan sát cabin chạy trên cáp treo, sau thời gian bao nhiêu thì khoảng cách giữa người quan sát và cabin gần nhau nhất?

Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà kho của ông $F$ trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật. Đơn vị của hệ trục là mét.

Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có chiều dài các cạnh $AB=4m$, $AD=3m$ và $A{A}^{\prime }=2\sqrt{3}m$ được đặt vào hệ trục tọa độ $Oxyz$ với đơn vị là (mét) như hình dưới. Trong bể đang chứa $12\sqrt{3}$ (m${}^3$) nước và mặt nước chạm bốn cạnh $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },D{D}^{\prime }$ lần lượt tại $M,F,E,N$. Một máy bơm Oxy, coi như một điểm $I\in (ME)$ được đặt trên mặt nước với vị trí của máy bơm thỏa mãn $\frac{MI}{ME}=\frac{2}{5}$. Người ta nghiêng bể nước trên trục $Oy$ như hình vẽ dưới, khi đáy bể hợp với mặt phẳng $(Oxy)$ một góc $\alpha$ sao cho mặt nước lúc này chứa cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Máy bơm lúc này vẫn nằm trên đoạn $ME$ ở vị trí thỏa mãn tỉ số $\frac{MI}{ME}$ như cũ. Lúc đó tọa độ của máy bơm là $I=(x_o;y_o;z_o)$. Tính $\frac{x_o}{\sqrt{7}}+5y_o+\frac{5z_o}{\sqrt{21}}$.

Mái nhà tranh của ông $F$ được đặt vào trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ với đơn vị là mét với mặt phẳng $(R)$: $z+1=0$ là mặt đất. Một bức tường là mặt phẳng $(P)$: $x+y-2\sqrt{2}=0$ và mái nhà lợp là của ông là mặt phẳng $(Q)$: $x-z+\sqrt{2}=0$. Ông $F$ muốn đặt một bóng đèn tròn để chiếu sáng ban đêm, sau khi cố định bóng đèn tại vị trí $A=(1;-1;1)$, ông nối dây điện thẳng dài từ bóng đèn đến vị trí một khoen móc đặt tại $C$ trên mái nhà $(Q)$ rồi luồn dây điện thẳng đến ổ cắm tại vị trí $B$ nằm trên bức tường $(P)$. Sau khi hoàn thành và đo đạc thì ông $F$ thấy tam giác $ABC$ là tam giác đều. Tính chiều cao mét của khoen móc $C$ so với mặt đất. (Làm tròn đến hàng phần chục)

Một cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng 8 m và chiều cao là 3 m. Cửa vào lều là hình thang $EFGH$ trong đó $AE=FB$ và $EF=4\text{m}$. Gọi $G,H$ lần lượt là trung điểm của $SE$ và $SF$. Một nguồn sáng đặt cách đỉnh $S$ 1m ở phía dưới. Ánh sáng chiếu ra ngoài qua cửa tạo thành một vùng được chiếu sáng $EF{G}^{\prime }{H}^{\prime }$. Diện tích vùng được chiếu sáng là bao nhiêu ${\text{m}}^2$ (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?