Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có chiều dài các cạnh $AB=4m$, $AD=3m$ và $A{A}^{\prime }=2\sqrt{3}m$ được đặt vào hệ trục tọa độ $Oxyz$ với đơn vị là (mét) như hình dưới. Trong bể đang chứa $12\sqrt{3}$ (m${}^3$) nước và mặt nước chạm bốn cạnh $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },D{D}^{\prime }$ lần lượt tại $M,F,E,N$. Một máy bơm Oxy, coi như một điểm $I\in (ME)$ được đặt trên mặt nước với vị trí của máy bơm thỏa mãn $\frac{MI}{ME}=\frac{2}{5}$. Người ta nghiêng bể nước trên trục $Oy$ như hình vẽ dưới, khi đáy bể hợp với mặt phẳng $(Oxy)$ một góc $\alpha$ sao cho mặt nước lúc này chứa cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Máy bơm lúc này vẫn nằm trên đoạn $ME$ ở vị trí thỏa mãn tỉ số $\frac{MI}{ME}$ như cũ. Lúc đó tọa độ của máy bơm là $I=(x_o;y_o;z_o)$. Tính $\frac{x_o}{\sqrt{7}}+5y_o+\frac{5z_o}{\sqrt{21}}$.

Một cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng 8 m và chiều cao là 3 m. Cửa vào lều là hình thang $EFGH$ trong đó $AE=FB$ và $EF=4\text{m}$. Gọi $G,H$ lần lượt là trung điểm của $SE$ và $SF$. Một nguồn sáng đặt cách đỉnh $S$ 1m ở phía dưới. Ánh sáng chiếu ra ngoài qua cửa tạo thành một vùng được chiếu sáng $EF{G}^{\prime }{H}^{\prime }$. Diện tích vùng được chiếu sáng là bao nhiêu ${\text{m}}^2$ (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Hình vẽ bên dưới mô tả một nhà xưởng có bốn bức tường và hai mái nhà đều là các hình chữ nhật với các kích thước ghi trên hình.

Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm, 21 cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm? (làm tròn đến hàng phần chục).

Người ta muốn truyền tín hiệu từ trạm A đến B nhưng giữa A và B có một bức tường hình hộp chữ nhật rất cao (chặn không cho tín hiệu truyền qua). Người ta sẽ khoét một lỗ nhỏ chỗ tiếp giáp giữa chân tường với mặt đất, xuyên qua vuông góc với bức tường, bắt đầu tại C và lỗ ra ở D phía bên kia (như hình vẽ). Như vậy, tín hiệu sẽ truyền thẳng từ A đến C, rồi từ C đến D, rồi từ D thẳng đến B. Biết A và B có độ cao so với đất lần lượt bằng 9m và 7m, cách các mặt tường gần nhất lần lượt là 13m và 6m, tường dày 2m, khoảng cách AB bằng 32m. Hãy xác định đường đi ngắn nhất của tín hiệu từ A đến B theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$, có cạnh bằng $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$.

Trong một phòng học được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật, với chiều dài $8m$, chiều rộng $6m$ và chiều cao $3m$. Hai bạn An và Bình làm nhiệm vụ trực nhật, mang nhện cần quét ở góc ngoài cùng trên trần nhà, An bảo không nên đứng ngay vị trí đó ở nền nhà quét vì sẽ bụi rơi xuống người mình, An lại dỗ bạn Bình 'nếu mình đứng ở giữa nhà quét thì mình phải kéo chổi quét nhà dài ra mấy mét để quét được vị trí mang nhện, biết An cao $1,5m$'. Bình trả lời đúng vị trí đó chổi dài $5m$ cũng không tới. Hỏi Bình đã tính được bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm)