Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm, 21 cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm? (làm tròn đến hàng phần chục).

Người ta muốn truyền tín hiệu từ trạm A đến B nhưng giữa A và B có một bức tường hình hộp chữ nhật rất cao (chặn không cho tín hiệu truyền qua). Người ta sẽ khoét một lỗ nhỏ chỗ tiếp giáp giữa chân tường với mặt đất, xuyên qua vuông góc với bức tường, bắt đầu tại C và lỗ ra ở D phía bên kia (như hình vẽ). Như vậy, tín hiệu sẽ truyền thẳng từ A đến C, rồi từ C đến D, rồi từ D thẳng đến B. Biết A và B có độ cao so với đất lần lượt bằng 9m và 7m, cách các mặt tường gần nhất lần lượt là 13m và 6m, tường dày 2m, khoảng cách AB bằng 32m. Hãy xác định đường đi ngắn nhất của tín hiệu từ A đến B theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$, có cạnh bằng $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$.

Trong một phòng học được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật, với chiều dài $8m$, chiều rộng $6m$ và chiều cao $3m$. Hai bạn An và Bình làm nhiệm vụ trực nhật, mang nhện cần quét ở góc ngoài cùng trên trần nhà, An bảo không nên đứng ngay vị trí đó ở nền nhà quét vì sẽ bụi rơi xuống người mình, An lại dỗ bạn Bình 'nếu mình đứng ở giữa nhà quét thì mình phải kéo chổi quét nhà dài ra mấy mét để quét được vị trí mang nhện, biết An cao $1,5m$'. Bình trả lời đúng vị trí đó chổi dài $5m$ cũng không tới. Hỏi Bình đã tính được bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(3;-2;3),B(1;0;5)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $Oxy$ sao cho $MA+MB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Hoành độ của $M$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu đặt tại gốc tọa độ O(0; 0; 0). Mỗi đơn vị trên trục tọa độ tương ứng với 1km. Một máy bay đang ở vị trí A(−688; −185; 8), chuyển động theo đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (91; 75; 0) và bay theo hướng về phía đài kiểm soát không lưu. Máy bay sẽ được hiển thị trên màn hình ra-đa nếu nó nằm trong phạm vi cách đài kiểm soát không quá 417 km. Gọi E(a; b; c) là vị trí đầu tiên mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra-đa. Tính giá trị a + b + c.

Bạn Nam thường đi bơi ở hồ bơi Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều dài $25m$, chiều rộng $15,5m$ và bên cạnh đó có một hồ bán nguyệt đường kính $10m$ (tham khảo hình vẽ 1). Trong một lần bể bơi vắng người nên Nam đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng $AC$ rồi bơi tiếp theo đoạn thẳng $CM$, với $M$ là một vị trí bất kì trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm $D$ dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí $A$ và kết thúc chu trình. (tham khảo hình vẽ 2).



Biết rằng vận tốc bơi của Nam là $2,7km/h$, vận tốc đi bộ là $5,4km/h$ và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Nam thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).