Câu 7 (1,0 điểm). Cho đa thức $P(x)=x^4-4x^3+4x^2+ax+b$ có hai nghiệm dương $x_1;x_2$ sao cho $x_1+x_2=2x_1{x}_2$. Tìm giá trị lớn nhất của $a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $s=x_1+x_2$, $p=x_1{x}_2$. Điều kiện $s=2p$, với $x_1,x_2>0$ thực thì $s^2\ge 4p\iff 4p^2\ge 4p\iff p\ge 1$.

Vì $x_1,x_2$ là hai nghiệm của $P(x)$ nên $P(x)=(x^2-sx+p)(x^2+mx+n)$. So sánh hệ số với $x^4-4x^3+4x^2+ax+b$:
- Hệ số $x^3$: $m-s=-4\Rightarrow m=2p-4$.
- Hệ số $x^2$: $n-sm+p=4\Rightarrow n=4+sm-p=4p^2-9p+4$.
- Hệ số $x$: $a=pm-sn=2p^2-4p-2p(4p^2-9p+4)=-8p^3+20p^2-12p$.
- Hệ số tự do: $b=pn=4p^3-9p^2+4p$.

Vậy $a+b=f(p)=-4p^3+11p^2-8p$, cần tìm giá trị lớn nhất trên $p\ge 1$.

$f^{\prime }(p)=-12p^2+22p-8=-2(3p-4)(2p-1)$. Trên $[1,\infty )$: $f^{\prime }(p)>0$ khi $1\le p<\frac{4}{3}$, $f^{\prime }(p)<0$ khi $p>\frac{4}{3}$, nên max đạt tại $p=\frac{4}{3}$:
$$f\left(\frac{4}{3}\right)=-4\cdot \frac{64}{27}+11\cdot \frac{16}{9}-8\cdot \frac{4}{3}=\frac{-256+528-288}{27}=-\frac{16}{27}.$$

Khi đó $a=\frac{16}{27},b=-\frac{32}{27}$; hai nghiệm dương là nghiệm của $x^2-\frac{8}{3}x+\frac{4}{3}=0$, tức $x_1=\frac{2}{3},x_2=2$, thỏa mãn $\frac{2}{3}+2=\frac{8}{3}=2\cdot \frac{2}{3}\cdot 2$. Kiểm tra: $P(x)=\left(x^2-\frac{8}{3}x+\frac{4}{3}\right)\left(x^2-\frac{4}{3}x-\frac{8}{9}\right)$ cho đúng $x^4-4x^3+4x^2+\frac{16}{27}x-\frac{32}{27}$, và $P\left(\frac{2}{3}\right)=P(2)=0$.

Trường hợp $p=1$ (nghiệm kép $x_1=x_2=1$) cho $f(1)=-1<-\frac{16}{27}$; khi $p\to \infty$ thì $f(p)\to -\infty$.

Kết luận: $\max (a+b)=-\frac{16}{27}$, đạt được tại $a=\frac{16}{27},b=-\frac{32}{27}$.