Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 quả bóng màu trắng và 7 quả bóng màu đỏ, hộp II có 10 quả bóng màu trắng và 15 quả bóng màu đỏ, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu trắng là $\frac{a}{b}$ phân số tối giản. Tính $M=a^2+b^2$.

Một nhà mạng viễn thông thử nghiệm hệ thống phát hiện và chặn các số điện thoại thực hiện cuộc gọi lừa đảo. Tuy nhiên, do hệ thống chưa hoàn hảo, nó có thể chặn nhầm một số điện thoại hợp lệ hoặc bỏ sót một số điện thoại lừa đảo. Thử nghiệm thu được các thông số sau:
+ Tỉ lệ số điện thoại lừa đảo là 5\%.
+ Tỉ lệ số điện thoại lừa đảo bị chặn là 94\%.
+ Tỉ lệ số điện thoại hợp lệ bị chặn là 3\%.
Chọn ngẫu nhiên một số điện thoại đã được thử nghiệm.

Một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở khu vực $X$ với xác suất $0,6$. Nếu nó không xuất hiện ở khu vực $X$ thì nó sẽ xuất hiện ở khu vực $Y$. Khi máy bay của đối phương xuất hiện ở khu vực $X$ hoặc $Y$ thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy bay đó. Xét hai phương án tác chiến sau:
- Phương án 1: Nếu máy bay xuất hiện tại khu vực $X$ thì bắn 2 tên lửa.
- Phương án 2: Nếu máy bay xuất hiện tại khu vực $Y$ thì bắn 1 tên lửa.
Biết rằng xác suất bắn trúng máy bay của mỗi tên lửa là $0,8$ và các lần bắn là độc lập. Máy bay bị hạ nếu trúng ít nhất một tên lửa. Tính xác suất để máy bay của đối phương xuất hiện ở khu vực $X$, biết rằng sau trận chiến máy bay của đối phương đã không bị hạ. (Kết quả quy tròn đến hàng phần trăm)

Tại một phòng khám, tỉ lệ người đến khám có mắc bệnh X là 10\%. Người ta dùng một xét nghiệm để phát hiện bệnh X. Nếu người mắc bệnh X thì kết quả xét nghiệm dương tính với xác suất 90\%. Nếu người không mắc bệnh X thì kết quả xét nghiệm dương tính với xác suất 5\%. Khám ngẫu nhiên một người và thấy kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất người đó thực sự mắc bệnh X là

Một nhà máy có hai phân xưởng I và II tương ứng làm ra 40% và 60% sản phẩm của nhà máy. Biết rằng tỉ lệ phế phẩm của hai phân xưởng I và II tương ứng là 1% và 2%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì thấy nó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó thuộc phân xưởng I.

Khoa học đã chứng minh bệnh béo phì sẽ làm tăng nguy cơ bị bệnh tim mạch. Khảo sát trên hồ sơ các bệnh nhân bị béo phì ở một bệnh viện, bệnh béo phì do yếu tố lối sống sinh hoạt là $90\%$, trong số người đó có $60\%$ người bị mắc bệnh tim mạch. Béo phì do yếu tố di truyền là $10\%$, trong số người đó có $25\%$ người bị mắc bệnh về tim mạch. Tính xác suất để rút ra một hồ sơ là của một người bị béo phì do di truyền biết người đó bị bệnh tim mạch ta thu được kết quả $\frac{5}{a}$. Tìm $a$?

Khoa học đã chứng minh bệnh béo phì sẽ làm tăng nguy cơ bị bệnh tim mạch. Khảo sát trên hồ sơ các bệnh nhân bị béo phì ở một bệnh viện, bệnh béo phì do yếu tố lối sống sinh hoạt là $90\%$, trong số người đó có $60\%$ người bị mắc bệnh tim mạch. Béo phì do yếu tố di truyền là $10\%$, trong số người đó có $25\%$ người bị mắc bệnh về tim mạch. Tính xác suất để rút ra một hồ sơ là của một người bị béo phì do di truyền biết người đó bị bệnh tim mạch ta thu được kết quả $\frac{5}{a}$. Tìm $a$?