Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tối ưu thực tế bằng đạo hàm (Toán học Lớp 12)

Câu 4. Một doanh nghiệp dự định sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng ($x\in \mathbb{N};100\le x\le 800$). Tổng doanh thu khi bán hết $x$ sản phẩm đó là $F(x)=-0,001x^3+0,6x^2+500x+100000$ (nghìn đồng). Chi phí để sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là $G(x)=0,0002x+\frac{40000}{x}$ (nghìn đồng) và chi phí để mua nguyên vật liệu khi chưa chiết khấu là $H(x)=-x+1500000$ (nghìn đồng). Công ty cung cấp nguyên vật liệu đang chạy chương trình khuyến mãi chiết khấu $10\%$. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Một công ty công nghệ GigaCloud chuẩn bị ra mắt dịch vụ lưu trữ đám mây cao cấp dành riêng cho các doanh nghiệp lớn. Qua phân tích dữ liệu lớn (Big Data), các chuyên gia kinh tế của công ty xác lập được mô hình cầu như sau: Nếu định giá gói cước hàng tháng là $x$ (triệu đồng) thì số lượng doanh nghiệp đăng ký sử dụng $S$ (nghìn doanh nghiệp) sẽ là $S(x)=\sqrt{45-x}$ (Với điều kiện mức giá $x$ phải nhỏ hơn $45$ triệu đồng). Chi phí vận hành hệ thống của GigaCloud bao gồm hai khoản: Chi phí cố định là $10$ tỷ đồng mỗi tháng (cho cơ sở hạ tầng, nhân sự cốt lõi) và chi phí vận hành. Do đặc thù bảo mật dữ liệu, khi số lượng khách hàng tăng lên thì chi phí băng thông và bảo trì tăng theo cấp số nhân. Cụ thể, chi phí này tỷ lệ thuận với bình phương số lượng khách hàng $C_v=3S^2$ (tỷ đồng). Hãy xác định mức giá cước $x$ mà GigaCloud cần niêm yết để đạt lợi nhuận ròng hàng tháng cao nhất?

Người quản lí của một khu chung cư có $120$ căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là $7$ triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm $100$ nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu (triệu đồng) để doanh thu lớn nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với độ dài trên mỗi trục là $10$ mét. Giả sử có một mảnh vườn được giới hạn bởi trục hoành và một phần đồ thị $(\mathcal{H})$ của hàm số $f(x)=-x^3+b{x}^2+cx+d$, ($O$ là điểm cực tiểu, $(\mathcal{H})$ cắt $Ox$ tại điểm $M(3;0)$ (tham khảo hình vẽ). Bạn An muốn trồng hoa trên mảnh đất có dạng hình tam giác $MAB$ với $A,B$ là giao điểm của đường thẳng $d:y=kx,(k>0)$ và đồ thị $(\mathcal{H})$. Khi diện tích phần trồng hoa này là lớn nhất phần đất còn lại bằng bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 2. Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $8000$ quả bóng pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát (người giám sát sẽ giám sát tất cả các máy). Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Câu 2: Một cơ sở sản xuất sữa hạt chất lượng cao có thể sản xuất được tối đa $300$ lít mỗi ngày. Chi phí sản xuất $x$ lít sữa mỗi ngày bao gồm: chi phí nhân công là một triệu đồng/ngày; chi phí nguyên vật liệu, đóng chai, bao bì là $35$ nghìn đồng cho một lít sữa được sản xuất; chi phí bảo dưỡng máy móc là $C_b(x)=0,00001x^2$ (triệu đồng). Ngoài ra, nếu $x$ lít sữa sản xuất mỗi ngày vượt $200$ lít thì ngoài các chi phí trên còn phát sinh thêm chi phí do vận hành quá tải là $C_v(x)=0,00003(x-200{)}^3$ (triệu đồng). Giá bán mỗi lít sữa là $60$ nghìn đồng. Biết cơ sở bán hết lượng sữa sản xuất trong ngày. Hỏi mỗi ngày cơ sở có lợi nhuận (đơn vị: triệu đồng) đạt được nhiều nhất là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 6. Một công ty sản xuất vật tư y tế muốn bán sản phẩm mới là máy đo huyết áp, nhằm tạo điều kiện cho các đại lý giá tiêu thụ hợp lí, đơn giá mỗi máy huyết áp được biểu diễn bằng hàm $p(x)=400-3x$ (nghìn đồng) với $x$ là số lượng máy bán ra, tổng chi phí sản xuất được biểu diễn theo hàm $C(x)=115+(160+T)x-x^2$ (nghìn đồng) với mọi $x$ thoả mãn $0\le x\le 60$, trong đó $T$ (nghìn đồng) là mức thuế phụ thu phải đóng trên $1$ máy bán được mà công ty phải chi trả. Xem như công ty sản xuất đều đặn trong điều kiện lý tưởng, khi lợi nhuận của công ty đạt giá trị cao nhất thì tổng mức thuế phải chi trả cũng đồng thời cao nhất. Khi đó mức thuế của mỗi máy đo huyết áp mà công ty phải trả là bao nhiêu (nghìn đồng)?

Câu 2. Số lượng cá thể của một loài sinh vật phụ thuộc nhiệt độ môi trường sống và được xấp xỉ bởi hàm số $f(t)=300e^{\frac{t}{5}-\frac{3t^2}{100}}$, trong đó $t$ là nhiệt độ môi trường, xét trong khoảng từ $0^{\circ }\text{C}$ đến $60^{\circ }\text{C}$. Hỏi số lượng cá thể loài sinh vật trên nhiều nhất là bao nhiêu?

Câu 4. Một khối gỗ có dạng hình chóp $S.ABCD$ với đáy là hình vuông cạnh $2\text{ dm}$, mặt bên $(SAB)$ vuông góc với mặt đáy và tam giác $SAB$ đều. Nghệ nhân muốn chế tác khối gỗ này thành một vật trang trí có dạng hình hộp chữ nhật với $4$ đỉnh nằm trên các cạnh $SA,SB,SC,SD$ và bốn đỉnh còn lại nằm trong mặt phẳng đáy. Thể tích lớn nhất của khối trang trí này bằng bao nhiêu ${\text{dm}}^3$? Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm.

Cho $C(x)=16000+500x-1,6x^2+0,004x^3$ là hàm chi phí và $p(x)=1700-7x$ là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất (tính theo đơn vị hàng hóa) sẽ tối đa hoá lợi nhuận.

Câu 18. Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá $30000$ đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình $3000$ chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhuận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá $30000$ đồng mà cứ tăng giá thêm $1000$ đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn $100$ chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là $18000$. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất.

Bạn An dùng đoạn dây kim loại dài $2\text{ m}$ để tạo thành hình $PQRST$ (như hình vẽ dưới đây), trong đó $PQST$ là một hình chữ nhật và $QRS$ là một nửa đường tròn. Gọi diện tích phần hình phẳng được bao bởi hình $PQRST$ là $A{\text{ (m}}^2\text{)}$. Biết $TP=SQ=x\text{ (m)}$ và $PQ=y\text{ (m)}$. Để diện tích $A$ lớn nhất thì giá trị của $x$ bằng bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)