Câu 2. Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $8000$ quả bóng pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát (người giám sát sẽ giám sát tất cả các máy). Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 123, trang 5), Câu 2 (Phần II): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Gọi $x$ là số máy sử dụng ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Trong $1$ giờ, $x$ máy sản xuất được $30x$ quả bóng.
Thời gian để sản xuất $8000$ quả bóng là $T=\frac{8000}{30x}=\frac{800}{3x}$ (giờ).
- Ý a: Trong $1$ giờ, $266$ máy sản xuất được $266\cdot 30=7980<8000$ quả bóng, chưa đủ $8000$ quả bóng. Do đó ý a sai.
- Ý b: Trong $T=\frac{8}{3}$ giờ, $100$ máy sản xuất được $100\cdot 30\cdot \frac{8}{3}=8000$ quả bóng. Do đó ý b đúng.
- Ý c & d: Tổng chi phí sản xuất (nghìn đồng) là:
$C(x)=200x+192\cdot T=200x+192\cdot \frac{800}{3x}=200x+\frac{51200}{x}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $C(x)\ge 2\sqrt{200\cdot 51200}=2\cdot 3200=6400$ nghìn đồng ($6,4$ triệu đồng).
Dấu bằng xảy ra khi $200x=\frac{51200}{x}⟺x^2=256⟺x=16$ máy.
Vậy chi phí hoạt động thấp nhất là $6,4$ triệu đồng (ý c sai vì nói $6,5$ triệu đồng) và số máy cần dùng là $16$ máy (ý d đúng).