Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $\sqrt{3}$, $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ có cạnh $AC=1$, góc giữa $AD$ và $(SAB)$ bằng $30^{\circ }$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 123, trang 5), Câu 3 (Phần III, câu 19) có đáp số là $0,87$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, góc giữa $AD$ và $(SAB)$ cũng là góc giữa $BC$ và $(SAB)$, bằng $30^{\circ }$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $2V_{S.ABC}=2V_{C.SAB}$.
Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ là $d(C,(SAB))=BC\cdot \sin 30^{\circ }$.
Với $△ABC$ vuông tại $A$, $AB=\sqrt{3},AC=1⟹BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{3+1}=2$.
Suy ra $d(C,(SAB))=2\cdot \sin 30^{\circ }=1$.
Diện tích tam giác đều $SAB$ cạnh $\sqrt{3}$ là $S_{SAB}=\frac{(\sqrt{3}{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V=2V_{C.SAB}=2\cdot \frac{1}{3}d(C,(SAB))\cdot S_{SAB}=\frac{2}{3}\cdot 1\cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866\approx 0,87$.