Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\Rightarrow x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. So sánh với dạng $x=-\frac{\pi }{m}+\frac{k\pi }{n}$ ta được $m=6$, $n=1$, nên $m-n=6-1=5$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3. Giải các phương trình lượng giác.

1) $2\sin 4x+1=0\iff \sin 4x=-\frac{1}{2}$.
$\iff \{\begin{array}{l}4x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \\ 4x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\end{array}$, $k\in \mathbb{Z}$.

2) $3\cos x-2=0\iff \cos x=\frac{2}{3}$ (thỏa mãn vì $\left|\frac{2}{3}\right|\le 1$).
$\iff x=\pm \arccos \frac{2}{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

3) $3\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{3}=0\iff \tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (điều kiện: $x+\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$).
$\iff x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi \iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. (Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện.)

4) $\cot (3x+1)+1=0\iff \cot (3x+1)=-1$ (điều kiện: $3x+1\ne k\pi$).
$\iff 3x+1=-\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{12}-\frac{1}{3}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

5) $(\sin 3x+1)(2\cos x-\sqrt{3})=0\iff \sin 3x=-1$ hoặc $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• $\sin 3x=-1\iff 3x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.
• $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

6) $\sin 7x+\cos 2x=0\iff \sin 7x=-\cos 2x=\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)$.
$\iff \{\begin{array}{l}7x=2x-\frac{\pi }{2}+2k\pi \\ 7x=\pi -\left(2x-\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi \end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}\\ 9x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{9}\end{array}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm lần lượt là:
1) $S=\left\{-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2};\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\right\}$, $k\in \mathbb{Z}$.
2) $S=\left\{\pm \arccos \frac{2}{3}+2k\pi \right\}$, $k\in \mathbb{Z}$.
3) $S=\{k\pi \}$, $k\in \mathbb{Z}$.
4) $S=\left\{-\frac{\pi }{12}-\frac{1}{3}+\frac{k\pi }{3}\right\}$, $k\in \mathbb{Z}$.
5) $S=\left\{-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3};\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi \right\}$, $k\in \mathbb{Z}$.
6) $S=\left\{-\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5};\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{9}\right\}$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số: $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$, $t\in \mathbb{Z}$, $0<t\le 365$.

Câu 1. $d(t)=12\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=0\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=k\pi \iff t=80+182k$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $0<t\le 365$: $k=0\Rightarrow t=80$; $k=1\Rightarrow t=262$. Vậy thành phố $A$ có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 của năm.

Câu 2. $d(t)=9\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff t-80=-91+364k\iff t=-11+364k$. Với $0<t\le 365$: $k=1\Rightarrow t=353$. Vậy ngày thứ 353 của năm thành phố $A$ có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời.

Câu 3. $d(t)=15\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=1\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff t=171+364k$. Với $0<t\le 365$: $k=0\Rightarrow t=171$. Vậy ngày thứ 171 của năm thành phố $A$ có đúng 15 giờ ánh sáng mặt trời.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số: $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$, $t\in \mathbb{Z}$, $0<t\le 365$.

**Câu 1:** $d(t)=12\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=0\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=k\pi \iff t=80+182k$, $k\in \mathbb{Z}$.
Với $0<t\le 365$: $k=0\Rightarrow t=80$; $k=1\Rightarrow t=262$.
Vậy thành phố $A$ có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 của năm.

**Câu 2:** $d(t)=9\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff t=-11+364k$.
Với $k=1$: $t=353$ (thỏa mãn $0<t\le 365$); $k=0$ cho $t=-11$ (loại).
Vậy ngày thứ 353 của năm thành phố $A$ có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời.

**Câu 3:** $d(t)=15\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=1\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff t=171+364k$.
Với $k=0$: $t=171$ (thỏa mãn); $k=1$ cho $t=535$ (loại).
Vậy ngày thứ 171 của năm thành phố $A$ có đúng 15 giờ ánh sáng mặt trời.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3. Giải các phương trình lượng giác:

1) $2\sin 4x+1=0\iff \sin 4x=-\frac{1}{2}=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$.
$\iff 4x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $4x=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+2k\pi =\frac{7\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
Vậy $x=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

2) $3\cos x-2=0\iff \cos x=\frac{2}{3}$ (thỏa vì $\left|\frac{2}{3}\right|\le 1$).
Vậy $x=\pm \arccos \frac{2}{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

3) $3\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{3}=0\iff \tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \frac{\pi }{6}$.
$\iff x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi \iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (điều kiện xác định của $\tan$ thỏa mãn vì $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$).

4) $\cot (3x+1)+1=0\iff \cot (3x+1)=-1=\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)$.
$\iff 3x+1=-\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=-\frac{1}{3}-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$ (điều kiện xác định của $\cot$: $3x+1=-\frac{\pi }{4}+k\pi \ne k\pi$, thỏa mãn).

5) $(\sin 3x+1)(2\cos x-\sqrt{3})=0\iff \sin 3x=-1$ hoặc $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• $\sin 3x=-1\iff 3x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.
• $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

6) $\sin 7x+\cos 2x=0\iff \sin 7x=-\cos 2x=\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)$.
• $7x=2x-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff 5x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff x=-\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$.
• $7x=\pi -\left(2x-\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi =\frac{3\pi }{2}-2x+2k\pi \iff 9x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{9}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra: thay mỗi họ nghiệm vào phương trình gốc đều thỏa mãn; các điều kiện xác định của $\tan$ (câu 3) và $\cot$ (câu 4) đều được đảm bảo.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\iff \left[<table><tbody><tr><td>x+\frac{\pi }{4}=x+2k\pi \text{ (voˆ nghiệm)}</td></tr><tr><td>x+\frac{\pi }{4}=\pi -x+2k\pi </td></tr></tbody></table>\right]\iff 2x=\frac{3\pi }{4}+2k\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. a) Với $x\in [0;2\pi ]$ chỉ có $x=\frac{3\pi }{8}$ và $x=\frac{11\pi }{8}$: hai giao điểm, không phải ba → Sai. b) Đúng theo định nghĩa. c) Đúng như trên. d) Giao điểm là $\left(\frac{3\pi }{8};\sin \frac{3\pi }{8}\right)$ và $\left(\frac{11\pi }{8};\sin \frac{11\pi }{8}\right)$, không phải $\frac{5\pi }{8},\frac{7\pi }{8}$ → Sai. Khớp bảng đáp án mã đề 2102: SĐĐS.
a) Giải phương trình hoành độ giao điểm $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x$ ta được $x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$. Với $x\in [0;2\pi ]$ chỉ có hai giá trị $x=\frac{3\pi }{8}$ và $x=\frac{11\pi }{8}$, tức hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm chứ không phải ba điểm. → Sai.
b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x$. → Đúng.
c) $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\iff x+\frac{\pi }{4}=\pi -x+2k\pi$ (trường hợp $x+\frac{\pi }{4}=x+2k\pi$ vô nghiệm) $\iff 2x=\frac{3\pi }{4}+2k\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. → Đúng.
d) Với $x\in [0;2\pi ]$, từ $x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$ ta được $x=\frac{3\pi }{8}$ và $x=\frac{11\pi }{8}$, nên tọa độ giao điểm là $\left(\frac{3\pi }{8};\sin \frac{3\pi }{8}\right)$ và $\left(\frac{11\pi }{8};\sin \frac{11\pi }{8}\right)$, không phải $\frac{5\pi }{8}$ và $\frac{7\pi }{8}$. → Sai.

Gợi ý làm bài:
a) $2\cos x-\sqrt{3}=0\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (0,5đ)
b) $\cos 7x-\sin 3x=0\iff \cos 7x=\sin 3x\iff \cos 7x=\cos (\frac{\pi }{2}-3x)$ (0,25đ)

$\iff \cos 7x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)$

$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{20}+k\frac{\pi }{5}\\ x=-\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\end{array},k\in \mathbb{Z}$ (0,25đ)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=1$ có nghiệm $x=k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (cos x đạt giá trị 1 tại các cung tròn có số đo bội của $2\pi$). Kiểm tra: với $x=0$, $\cos 0=1$ đúng; với $x=\pi$, $\cos \pi =-1$ loại D. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 2102 (Câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Giải $\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=0\Rightarrow 2x-\frac{\pi }{3}=k\pi \Rightarrow 2x=\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Khớp đáp án D và bảng đáp án mã đề 2102 (Câu 4 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x-\sqrt{3}=0$ ta có $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Trên vòng tròn lượng giác, $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ tại $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$. Vậy tập nghiệm là $\left\{\frac{\pi }{3}+k2\pi ,\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với phương án D (khớp với đáp án mã đề 2102 trong bảng).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=0$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì cosin bằng 0 tại các góc $\pm \frac{\pi }{2}$ và lặp lại theo chu kỳ $\pi$. Kiểm tra: $\cos \frac{\pi }{2}=0$, $\cos \frac{3\pi }{2}=0$. Đáp án trùng với bảng đáp án mã đề 2101 (Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x-1=0$ ta có $\sin x=\frac{1}{2}$. Trên $[0,2\pi ]$, các nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$. Vậy tập nghiệm là $S=\left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ;\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án B (khớp với bảng đáp án mã đề 2101, câu 15 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\sin x=\sqrt{2}\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$, nên $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. a) Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$ (nghiệm $\frac{3\pi }{4}$ nằm ngoài khoảng), nên chỉ có một nghiệm → Sai. b) $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$ → Đúng. c) Nghiệm đúng phải là $\frac{\pi }{4}+k2\pi$ chứ không phải $\frac{\pi }{3}+k2\pi$ → Sai. d) Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 2101: SĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$, vì $\frac{3\pi }{4}$ nằm ngoài khoảng. Vậy chỉ có một nghiệm, không phải hai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$2\sin x=\sqrt{2}\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$. Khẳng định đưa ra $\frac{\pi }{3}+k2\pi$ là sai vì $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm dương: $\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{9\pi }{4},\dots$ nên nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$.

Gợi ý làm bài:
a)
$\tan x=-\sqrt{3}\iff \tan x=\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right),k\in \mathbb{Z}$.

$\iff x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

b)
$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos x=0\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$

$\iff x+\frac{\pi }{4}=\pi -x+\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff 2x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi \iff x=\frac{5\pi }{8}+k\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin \frac{\pi }{3}$ có nghiệm dạng $\sin x=\sin \alpha$ với $\alpha =\frac{\pi }{3}$. Công thức nghiệm tổng quát: $[<table><tbody><tr><td>x=\alpha +k2\pi </td></tr><tr><td>x=\pi -\alpha +k2\pi </td></tr></tbody></table>$ với $k\in \mathbb{Z}$. Thay vào: $[<table><tbody><tr><td>x=\frac{\pi }{3}+k2\pi </td></tr><tr><td>x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{2\pi }{3}+k2\pi </td></tr></tbody></table>$ $(k\in \mathbb{Z})$. Kiểm tra: $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, và chu kì của $\sin x$ là $2\pi$ nên chu kì nghiệm phải là $2\pi$ (loại A vì chu kì $\pi$). Đáp án D sai vì $\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$. Kết quả trùng với đáp án B đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}=k\pi \iff \frac{2x}{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+\frac{3k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$. Kết quả trùng với đáp án D và với bảng đáp án mã đề 1002 (Câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Sóng đạt chiều cao lớn nhất khi $h(t)=65$, tức $\sin \left(\frac{\pi t}{8}\right)=1$. Khi đó $\frac{\pi t}{8}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, suy ra $t=4+16k$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $0\le t\le 25$: $k=0$ cho $t=4$; $k=1$ cho $t=20$; $k=2$ cho $t=36>25$ (loại). Vậy có 2 thời điểm sóng đạt chiều cao lớn nhất, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1002, câu 16 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin (x+30^{\circ })+4=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m-4\in [-1;1]$, tức $3\le m\le 5$. Các giá trị nguyên của $m$ là $3,4,5$, vậy có 3 giá trị. Kết quả khớp với đáp án nguồn (3).

a) Phương trình: $2\cos 2x-\sqrt{3}=0\iff \cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \cos 2x=\cos \frac{\pi }{6}$ $\iff \{\begin{array}{l}2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{12}+k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi ;x=\frac{\pi }{12}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.
b) Giải phương trình: $\tan \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=1\iff x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{5\pi }{12}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$. Do $2\pi \le x\le 4\pi \Rightarrow 2\pi \le \frac{5\pi }{12}+k\pi \le 4\pi \iff \frac{19}{12}\le k\le \frac{43}{12}$. Mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=2,3$. Khi đó tìm được: $x=\frac{29\pi }{12},x=\frac{41\pi }{12}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}=k\pi \iff \frac{2x}{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+\frac{3k\pi }{2}$, với $k\in \mathbb{Z}$. Kết quả này trùng với đáp án C và khớp với bảng đáp án mã đề 1001 (Câu 11: C).