Chiều cao so với mực nước biển trung bình tại thời điểm $t$ (giây) ( với $t\ge 0$ ) của một con sóng được cho bởi hàm số $h(t)=65\sin \left(\frac{\pi t}{8}\right)$, trong đó $h(t)$ được tính bằng centimét. Trong 25 giây đầu tiên (kể từ mốc $t=0$ giây), có bao nhiêu thời điểm để con sóng đạt chiều cao lớn nhất?

Phương trình $\cos x=\frac{1}{5}$ có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $\left[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$?

Phương trình $\sin x=\frac{1}{5}$ có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $\left[\pi ;2\pi \right]$?

Trong một hệ thống trí tuệ nhân tạo (AI) dùng camera để nhận diện vật thể, camera được gắn trên một mô-tơ có thể quay liên tục. Khi camera quay quanh vật thể, góc nhìn thay đổi, làm cho chất lượng các đặc trưng hình ảnh mà hệ thống thu nhận cũng thay đổi. Hệ thống sử dụng hai thuật toán nhận diện độc lập. Với mỗi góc quay $x$ (đơn vị radian), $0\le x\le 8\pi$, mỗi thuật toán đưa ra một chỉ số tin cậy cho kết quả nhận diện. Qua quá trình thử nghiệm, các kỹ sư mô hình hóa hai chỉ số tin cậy này lần lượt bởi các hàm số $f(x)=1+{\sin }^{2}x$ và $g(x)=1+{\cos }^{2}x$. Để đánh giá mức độ phối hợp của hai thuật toán, hệ thống sử dụng một chỉ số kết hợp là $$H(x)={\log }_{4}f(x)\cdot {\log }_{4}g(x).$$ Gọi $H_0={\log }_4\frac{3}{2}$ và hệ thống đạt trạng thái phối hợp tối ưu khi $\sqrt{H(x)}=H_0$. Gọi $S$ tổng tất cả các góc quay $x\in [0;8\pi ]$ tại đó hệ thống đạt trạng thái phối hợp tối ưu, tính $\frac{20S}{\pi }$.

Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách $h$ (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng (mô phỏng ở hình vẽ dưới đây) được biểu diễn qua thời gian $t$ ($t\ge 0$ và được tính bằng giây) bởi hệ thức $h=|d|$ với $d=3\cos \left[\frac{\pi }{3}(2t-1)\right]$, trong đó ta quy ước rằng $d>0$ khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và $d<0$ trong trường hợp trái lại. Một người chơi đạt cảm giác mạnh nhất khi ở vị trí xa nhất so với vị trí cân bằng. Hỏi trong khoảng thời gian 1 phút, người chơi đu đạt được cảm giác mạnh bao nhiêu lần?

Tổng các nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi ]$ của phương trình $\sin 2x-\cos x=0$ bằng

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng được cho bởi công thức $h(t)=2\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)$. Ở đây, thời gian tính bằng giây và quãng đường $h$ tính bằng $cm$. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 9 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?