Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị chưa ghép nhóm (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=20$ giá trị đã sắp xếp. Tứ phân vị: $Q_1$ là trung bình của giá trị thứ 5 và 6: $Q_1=\frac{9+11}{2}=10$; $Q_3$ là trung bình của giá trị thứ 15 và 16: $Q_3=\frac{31+33}{2}=32$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=32-10=22$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+8+12+9+11+3=46$. Tứ phân vị thứ nhất: $rac464=11,5$ nên $Q_1$ là giá trị thứ $12$. Cộng dồn: giá trị $1$ có $3$ học sinh, giá trị $2$ có $11$ (tổng $11$), giá trị $3$ có $12$ (tổng $23$). Vậy giá trị thứ $12$ là $3$, tức $Q_1=3$. Tứ phân vị thứ ba: $rac3imes464=34,5$ nên $Q_3$ là giá trị thứ $35$. Cộng dồn tiếp: giá trị $4$ có $9$ (tổng $32$), giá trị $5$ có $11$ (tổng $43$). Vậy giá trị thứ $35$ là $5$, tức $Q_3=5$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=5-3=2$ (giờ).

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=7$): 24, 25, 27, 28, 30, 33, 34. Giá trị trung vị là số thứ 4: 28. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là trung vị nửa dưới (24, 25, 27) nên $Q_1=25$. Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là trung vị nửa trên (30, 33, 34) nên $Q_3=33$. Khoảng tứ phân vị $=Q_3-Q_1=33-25=8$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0111, câu 19 = 8).

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (9 giá trị): 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9. Vị trí Q1 là (9+1)/4 = 2,5 nên Q1 = 6 + 0,5·(7 − 6) = 6,5. Vị trí Q3 là 3(9+1)/4 = 7,5 nên Q3 = 9 + 0,5·(9 − 9) = 9. Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1 = 9 − 6,5 = 2,5, trùng với đáp án nguồn 2,5.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng năng suất hai vùng đều bằng 335 nên trung bình cùng bằng 335/7 ≈ 47,86 (A đúng). Khoảng biến thiên: vùng A = 54 − 41 = 13, vùng B = 52 − 43 = 9 nên D đúng. Khoảng tứ phân vị: vùng A có Q1 = 44, Q3 = 53 nên IQR = 9; vùng B có Q1 = 44, Q3 = 51 nên IQR = 7, vậy IQR của A lớn hơn của B (B đúng). Vì phương sai/độ phân tán của vùng A lớn hơn (khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị đều lớn hơn) nên vùng A trồng lúa kém ổn định hơn vùng B, khẳng định C là SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=5$ giá trị đã sắp xếp: 152, 154, 156, 158, 160. Tứ phân vị thứ hai là trung vị $=156$. Nửa dưới gồm 152, 154 nên $Q_1=153$; nửa trên gồm 158, 160 nên $Q_3=159$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=159-153=6$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=15$) theo thứ tự tăng dần: 6,3; 6,6; 7,2; 7,5; 7,5; 7,6; 7,7; 7,8; 7,9; 8,2; 8,3; 8,7; 8,8; 8,9; 9,0.

a) Khoảng biến thiên: $R=x_{\max }-x_{\min }=9,0-6,3=2,7$ (m).

b) Khoảng tứ phân vị: Vì $n=15$ lẻ, ta chia mẫu thành hai nửa: nửa dưới gồm 7 giá trị đầu (6,3; 6,6; 7,2; 7,5; 7,5; 7,6; 7,7) và nửa trên gồm 7 giá trị cuối (7,9; 8,2; 8,3; 8,7; 8,8; 8,9; 9,0), giá trị giữa là 7,8.
- $Q_1$ là trung vị của nửa dưới: giá trị thứ 4 của nửa dưới, $Q_1=7,5$.
- $Q_2=7,8$ (giá trị giữa).
- $Q_3$ là trung vị của nửa trên: giá trị thứ 4 của nửa trên, $Q_3=8,7$.
Vậy khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=8,7-7,5=1,2$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=7$ giá trị đã sắp xếp: $2,4,5,7,9,11,14$. Trung vị là $7$. Nửa dưới gồm $2,4,5$ nên $Q_1=4$; nửa trên gồm $9,11,14$ nên $Q_3=11$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=11-4=7$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu: 10, 11, 12, 15, 18, 20, 95 (n = 7). Trung vị là giá trị thứ 4: 15. Nửa dưới gồm 10, 11, 12 nên $Q_1=11$; nửa trên gồm 18, 20, 95 nên $Q_3=20$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=20-11=9$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x<3$ nên $x$ là giá trị nhỏ nhất của mẫu, giá trị lớn nhất là $11$. Khoảng biến thiên $R=11-x=10\Rightarrow x=1$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu có n=7 giá trị: 2,5,8,11,14,17,20.
a) Khoảng biến thiên R = 20 − 2 = 18 ≠ 15 → sai.
b) Q2 là trung vị, giá trị thứ 4 là 11 → đúng.
c) Q1 là giá trị thứ (7+1)/4 = 2, tức Q1 = 5; Q3 là giá trị thứ 3(7+1)/4 = 6, tức Q3 = 17; ΔQ = 17 − 5 = 12 → đúng.
d) Giá trị nhỏ nhất xmin = 2 ≠ 5 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = xmax − xmin = 20 − 2 = 18 ≠ 15.
b) (AI giải đề cho tôi)
n = 7 lẻ, trung vị là giá trị thứ 4 = 11, nên Q2 = 11.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = giá trị thứ 2 = 5, Q3 = giá trị thứ 6 = 17, nên ΔQ = 17 − 5 = 12.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất của mẫu là 2, không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu A = {1,3,5,7}: khoảng biến thiên R = 7 - 1 = 6; số trung bình cộng = 4; phương sai s² = [(-3)²+(-1)²+1²+3²]/4 = 20/4 = 5; độ lệch chuẩn s = √5. Mẫu B = {11,13,15,17}: R = 17 - 11 = 6; trung bình = 14; phương sai = [(-3)²+(-1)²+1²+3²]/4 = 5; độ lệch chuẩn = √5. Khoảng tứ phân vị: mẫu A có Q1 = 2, Q3 = 6 nên ΔQ = 4; mẫu B có Q1 = 12, Q3 = 16 nên ΔQ = 4. Vậy: a) Đúng (cùng R = 6). b) Sai (hai mẫu có cùng phương sai s² = 5). c) Đúng (cùng độ lệch chuẩn √5). d) Sai (cùng khoảng tứ phân vị ΔQ = 4).
a) (AI giải đề cho tôi)
R_A = 7 - 1 = 6 và R_B = 17 - 11 = 6, hai mẫu có cùng khoảng biến thiên R = 6.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai mẫu A: trung bình 4, s² = (9+1+1+9)/4 = 5. Phương sai mẫu B: trung bình 14, s² = (9+1+1+9)/4 = 5. Hai phương sai bằng nhau nên mẫu B không có phương sai lớn hơn mẫu A.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai mẫu đều có phương sai s² = 5 nên độ lệch chuẩn cùng bằng s = √5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu A: Q1 = 2, Q3 = 6, ΔQ = 4. Mẫu B: Q1 = 12, Q3 = 16, ΔQ = 4. Hai khoảng tứ phân vị bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 39: Khi bổ sung một giá trị rất lớn (ngoại lệ) vào mẫu số liệu ban đầu:
a) Khoảng biến thiên R = max − min. Giá trị mới rất lớn trở thành max mới nên R tăng lên. Đúng.
b) Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 − Q1 phụ thuộc vào các giá trị ở giữa mẫu, không phụ thuộc giá trị ngoại lệ lớn nhất, nên không thể kết luận luôn tăng gấp đôi. Sai.
c) Phương sai s² đo độ phân tán quanh trung bình; giá trị ngoại lệ rất lớn làm (x − x̄)² của nó rất lớn, đồng thời làm thay đổi x̄, nên s² thay đổi đáng kể. Đúng.
d) Vì s² tăng đáng kể nên s = √(s²) cũng tăng, không giảm. Sai.
Vậy các phát biểu đúng là a) và c).
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị ngoại lệ rất lớn trở thành giá trị lớn nhất mới của mẫu, do đó R = max − min tăng lên.
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ_Q = Q3 − Q1 chỉ phụ thuộc các giá trị ở giữa mẫu, giá trị ngoại lệ lớn nhất không làm Δ_Q luôn tăng gấp đôi.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị ngoại lệ làm tổng bình phương độ lệch (x − x̄)² tăng rất mạnh nên phương sai s² thay đổi đáng kể.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì s² tăng đáng kể nên độ lệch chuẩn s = √(s²) tăng lên chứ không giảm.

Đáp số: $7$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 5 giá trị xếp tăng dần: 2, 5, 8, 11, x nên trung vị là giá trị giữa: $M_e=8$ (thỏa mãn với mọi $x\ge 11$). Khoảng biến thiên $R=x-2=12\Rightarrow x=14$. Kiểm tra: $14\ge 11$ nên thứ tự tăng dần giữ nguyên và trung vị vẫn là 8. Vậy $x=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu đã sắp xếp: 495; 498; 500; 502; 505; 510 (n = 6).
a) Khoảng biến thiên R = 510 − 495 = 15 g → đúng.
b) Khối lượng trung bình x̄ = (495+498+500+502+505+510)/6 = 3010/6 ≈ 501,67 g ≠ 500 g → sai.
c) Q1 ở vị trí 0,25·6 = 1,5 nên Q1 = (495+498)/2 = 496,5; Q3 ở vị trí 0,75·6 = 4,5 nên Q3 = (505+510)/2 = 507,5. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = 507,5 − 496,5 = 11 g ≠ 7 g → sai.
d) Giới hạn xác định giá trị bất thường: [Q1 − 1,5·Δ_Q; Q3 + 1,5·Δ_Q] = [496,5 − 16,5; 507,5 + 16,5] = [480; 524]. Mọi giá trị của mẫu đều nằm trong khoảng này nên không có giá trị bất thường → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 510 − 495 = 15 g.
b) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = 3010/6 ≈ 501,67 g ≠ 500 g.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 496,5; Q3 = 507,5 nên Δ_Q = 11 g ≠ 7 g.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng [Q1 − 1,5Δ_Q; Q3 + 1,5Δ_Q] = [480; 524] chứa mọi giá trị, không có giá trị bất thường.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 7 giá trị đã xếp thứ tự: 3; 6; 8; 10; 14; 17; 20. Trung vị là giá trị thứ 4: 10. Nửa dưới gồm 3; 6; 8 nên $Q_1=6$. Nửa trên gồm 14; 17; 20 nên $Q_3=17$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=17-6=11$, trùng với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có n = 10 giá trị đã sắp xếp: 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19. Tứ phân vị thứ nhất: Q1 = x(3) = 12 (vì 10·0,25 = 2,5 nên lấy giá trị thứ 3). Tứ phân vị thứ ba: Q3 = x(8) = 17 (vì 10·0,75 = 7,5 nên lấy giá trị thứ 8). Khoảng tứ phân vị: ΔQ = Q3 − Q1 = 17 − 12 = 5.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu: 2,593; 2,977; 3,155; 3,270; 3,387; 3,412; 3,813; 3,920; 4,042; 4,236.

1) Khoảng biến thiên: R = x_max − x_min = 4,236 − 2,593 = 1,643 (kg).

2) Khoảng tứ phân vị (nội suy theo vị trí (n+1)p với n = 10):
- Vị trí Q1 = 0,25·11 = 2,75 ⇒ Q1 = 2,977 + 0,75·(3,155 − 2,977) = 3,1105.
- Vị trí Q3 = 0,75·11 = 8,25 ⇒ Q3 = 3,920 + 0,25·(4,042 − 3,920) = 3,9505.
- IQR = Q3 − Q1 = 3,9505 − 3,1105 = 0,84 (kg).

3) Độ lệch chuẩn:
- Trung bình: x̄ = (2,977+3,155+3,920+3,412+4,236+2,593+3,270+3,813+4,042+3,387)/10 = 34,805/10 = 3,4805.
- Tổng bình phương độ lệch: Σ(x_i − x̄)² ≈ 0,2535 + 0,1060 + 0,1932 + 0,0047 + 0,5708 + 0,7877 + 0,0443 + 0,1106 + 0,3153 + 0,0087 ≈ 2,3946.
- Phương sai (theo công thức sách giáo khoa s² = (1/n)Σ(x_i − x̄)²): s² ≈ 0,2395 ⇒ s ≈ 0,489 (kg).

(Khi dùng công thức mẫu s² = (1/(n−1))Σ(x_i − x̄)² ≈ 0,2663 thì s ≈ 0,516 kg.)

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu: 8, 17, 21, 35, 43, 59, 72, 119 (n = 8). Tứ phân vị dưới Q1 là trung bình của giá trị thứ 2 và 3: Q1 = (17+21)/2 = 19. Tứ phân vị trên Q3 là trung bình của giá trị thứ 6 và 7: Q3 = (59+72)/2 = 65,5. Khoảng tứ phân vị IQR = Q3 - Q1 = 65,5 - 19 = 46,5. Vậy chọn C.